Macroeconomia Avançada · Material de Apoio
Esta aula cobre os instrumentos que estão por baixo dos exercícios. A Parte I trata das ferramentas matemáticas: a desigualdade de Jensen e a técnica de log-linearização. A Parte II trata da teoria econômica: poupança precaucionária, a equação de Euler, o modelo RBC e as propriedades do modelo de Romer.
As duas partes são independentes. Se você já domina a matemática, vá direto à Parte II. Se a teoria estiver clara mas a mecânica das derivações for o problema, fique na Parte I.
Parte I
Ferramentas Matemáticas
Dois instrumentos que aparecem repetidamente na macro dinâmica: a desigualdade de Jensen e a técnica de log-linearização. Entender a mecânica torna os exercícios transparentes.
A desigualdade de Jensen é um dos resultados mais usados em teoria da decisão sob incerteza. Em uma linha: o valor esperado de uma função não-linear de uma variável aleatória não é igual à função aplicada ao valor esperado. A direção da desigualdade depende da curvatura da função.
Seja $f$ uma função mensurável e $X$ uma variável aleatória. Então:
A igualdade vale quando $f$ é linear, ou quando $X$ é constante (sem aleatoriedade).
Para uma função convexa: a corda entre quaisquer dois pontos fica acima da curva. O valor esperado $\mathbb{E}[f(X)]$ é a média dos valores na curva, que corresponde a um ponto na corda. A função avaliada na média, $f(\mathbb{E}[X])$, é um ponto na curva. Como a corda fica acima da curva, a esperança da função supera a função da esperança.
Para $g$ convexa: a corda entre dois pontos fica acima da curva. O valor esperado de $g(r)$ (ponto verde na corda) supera $g$ do valor esperado de $r$ (ponto laranja na curva).
O critério prático para saber se uma função é convexa é verificar o sinal da segunda derivada:
$f''(x) \geq 0$ para todo $x$ no domínio $\Leftrightarrow$ $f$ é convexa.
$f''(x) \leq 0$ para todo $x$ no domínio $\Leftrightarrow$ $f$ é côncava.
Exemplos relevantes para os exercícios desta lista:
| Função | $f''(x)$ | Curvatura | Jensen |
|---|---|---|---|
| $f(x) = \ln x$ | $-1/x^2 < 0$ | côncava | $\mathbb{E}[\ln X] \leq \ln \mathbb{E}[X]$ |
| $f(x) = 1/x$ | $2/x^3 > 0$ | convexa | $\mathbb{E}[1/X] \geq 1/\mathbb{E}[X]$ |
| $f(x) = e^x$ | $e^x > 0$ | convexa | $\mathbb{E}[e^X] \geq e^{\mathbb{E}[X]}$ |
| $f(x) = x^2$ | $2 > 0$ | convexa | $\mathbb{E}[X^2] \geq (\mathbb{E}[X])^2$ (variância $\geq 0$) |
Certeza equivalência (ou seja, $\mathbb{E}[f(X)] = f(\mathbb{E}[X])$) só vale quando $f$ é linear. Funções de utilidade são não-lineares por construção. Quando a função objetivo do agente é não-linear numa variável estocástica, o valor esperado da variável não resume tudo o que o agente precisa saber. A variância importa, e a direção do efeito é dada pelo sinal de $f''$.
Modelos macroeconômicos dinâmicos são sistemas de equações não-lineares. As condições de ótimo (Euler, intratemporal, restrição de recursos) envolvem produtos, razões e potências de variáveis endógenas. Esses sistemas raramente têm solução analítica.
A log-linearização transforma esse sistema num sistema linear em desvios percentuais logarítmicos em relação a uma trajetória de referência. Um sistema linear pode ser resolvido com álgebra, não com análise de equações diferenciais não-lineares.
O custo: a approximação é local. Ela é boa perto da trajetória de referência e se deteriora quanto mais longe dela o sistema se afasta.
Porque as equações macroeconômicas são frequentemente multiplicativas: Cobb-Douglas ($Y = AK^\alpha N^{1-\alpha}$), condição de Euler ($c_t = \beta(1+r)c_{t+1}$), balança de pagamentos. Tomar logaritmos transforma produtos em somas, razões em diferenças, e potências em múltiplos. Isso converte relações não-lineares multiplicativas em relações lineares.
A substituição fundamental. Para qualquer variável positiva $X_t$ que cresce ao longo de uma trajetória $\bar{X}_t$, define-se o desvio logarítmico:
Portanto $X_t = \bar{X}_t\,e^{\tilde{X}_t}$. Para desvios pequenos ($|\tilde{X}_t| \ll 1$), usa-se a aproximação de primeira ordem:
Esta é a aproximação de Taylor de primeira ordem de $e^x$ em torno de $x=0$. O erro é de ordem $\tilde{X}_t^2$, que é pequeno quando o desvio é pequeno.
1. Substitua $X_t = \bar{X}_t(1+\tilde{X}_t)$ em cada variável da equação.
2. Expanda o produto. Descarte termos de segunda ordem (produtos de dois $\tilde{X}$).
3. Use o fato de que a trajetória de referência $\bar{X}_t$ satisfaz a mesma equação. Isso cancela os termos de nível e deixa só os termos em $\tilde{X}$.
4. Para termos não-multiplicativos como $\ln(1-n_t)$, use uma expansão de Taylor em torno de $\bar{n}$.
Substituindo:
Como $\bar{Z} = \bar{X}\bar{Y}$ na trajetória de referência, cancelamos e obtemos: $\tilde{Z}_t = \tilde{X}_t + \tilde{Y}_t$. Produto vira soma nos desvios logarítmicos.
Log-linearizar não é simplesmente "tomar logaritmo da equação". É uma expansão de Taylor de primeira ordem em torno da trajetória de referência, expressa em desvios percentuais. O resultado é um sistema linear cujos coeficientes são os parâmetros do modelo avaliados no estado estacionário (ou na BGP).
As cinco regras abaixo cobrem virtualmente todas as situações que aparecem em modelos macroeconômicos padrão. As três primeiras seguem diretamente das propriedades do logaritmo. A quarta (somas) é onde mais se erra. A quinta (expressões $(1-X)$) aparece sempre que há trabalho e lazer.
| Expressão original | Log-linearizada | |
|---|---|---|
| R1 | $Z_t = X_t \cdot Y_t$ | $\tilde{Z}_t = \tilde{X}_t + \tilde{Y}_t$ |
| R2 | $Z_t = X_t / Y_t$ | $\tilde{Z}_t = \tilde{X}_t - \tilde{Y}_t$ |
| R3 | $Z_t = X_t^\alpha$ | $\tilde{Z}_t = \alpha\,\tilde{X}_t$ |
| R4 | $Z_t = a\,X_t + b\,Y_t$ | $\tilde{Z}_t = s_X\,\tilde{X}_t + s_Y\,\tilde{Y}_t$ onde $s_X = a\bar{X}/\bar{Z}$, $s_Y = b\bar{Y}/\bar{Z}$ (shares de SS) |
| R5 | $Z_t = 1 - X_t$ | $\tilde{Z}_t = -\dfrac{\bar{X}}{1-\bar{X}}\,\tilde{X}_t$ |
Derivação da Regra R4 (somas). Este é o caso mais trabalhoso. Defina $\bar{s}_X \equiv a\bar{X}/\bar{Z}$ e $\bar{s}_Y \equiv b\bar{Y}/\bar{Z}$. Note que $\bar{s}_X + \bar{s}_Y = 1$.
Substituir $X_t = \bar{X}(1+\tilde{X}_t)$ e $Y_t = \bar{Y}(1+\tilde{Y}_t)$ em $Z_t = aX_t + bY_t$:
Expandindo e usando $\bar{Z} = a\bar{X}+b\bar{Y}$ do SS (os termos de nível se cancelam):
Dividir por $\bar{Z}$ e definir $s_X \equiv a\bar{X}/\bar{Z}$, $s_Y \equiv b\bar{Y}/\bar{Z}$:
Derivação da Regra R5 (complemento). Aparece em $\ln(1-n_t)$, que não é um produto ou potência.
Expandir $\ln(1-n_t)$ em torno de $\bar{n}$ via Taylor de primeira ordem:
Como $n_t - \bar{n} \approx \bar{n}\,\tilde{n}_t$ para desvios em log, substituir:
Subtrair o valor de SS para obter o desvio logarítmico de $(1-n_t)$:
Para $Y_t = A_t K_t^\alpha (\eta N_t)^{1-\alpha}$, aplicando R1, R2, R3:
Se $N_t$ cresce deterministicamente (sem desvio: $\tilde{N}_t=0$) e $\eta_t$ é constante ($\tilde{\eta}_t=0$):
Este é o resultado que aparece implicitamente na prova da Q8.
Log-linearizar requer usar repetidamente quatro ou cinco aproximações de primeira ordem. Elas não são "truques" — são truncamentos da série de Taylor em torno de um ponto de referência. Saber de onde vêm permite julgar quando são válidas e quando o erro já é relevante.
Todas valem para desvios pequenos do ponto de referência; o erro residual é de ordem quadrática nesse desvio.
| # | Aproximação | Origem | Erro residual |
|---|---|---|---|
| A1 | $e^x \approx 1+x$ | Taylor de $e^x$ em $x=0$ | $+x^2/2 + O(x^3)$ |
| A2 | $\ln(1+x) \approx x$ | Taylor de $\ln(1+x)$ em $x=0$ | $-x^2/2 + O(x^3)$ |
| A3 | $(1+a)(1+b) \approx 1+a+b$ | Descarta o produto $ab$ (segunda ordem) | $ab$ |
| A4 | $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$ | A1 $\circ$ A2 via $e^{\alpha\ln(1+x)}$ | $\alpha(\alpha-1)x^2/2$ |
| A5 | $\ln\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[\ln X]$ | Taylor de $\ln X$ em torno de $\mathbb{E}[X]$ | $+\tfrac{1}{2}\sigma^2_{\text{rel}}$ (gap de Jensen) |
Derivação de A1, A2, A3 e A4. A série de Taylor de $e^x$ em torno de $x=0$ é a mais fundamental; as demais derivam dela por composição.
A1 — Taylor de $e^x$:
A2 — consequência direta: se $y = 1+x$ (com $x$ pequeno), então $e^{\ln y}=y$. Aplicar A1 a $\ln y$:
A3 — produto de dois desvios: $(1+a)(1+b) = 1+a+b+\underbrace{ab}_{\text{segunda ordem}} \approx 1+a+b$.
A4 — composição A1$\circ$A2: $(1+x)^\alpha = e^{\alpha\ln(1+x)} \overset{A2}{\approx} e^{\alpha x} \overset{A1}{\approx} 1+\alpha x$. (Regra R3 da seção anterior usa isso implicitamente.)
Derivação de A5. Esta é a mais delicada: permite mover o logaritmo para dentro do operador de esperança. Escreva $X = \mu(1+\varepsilon)$ com $\mu = \mathbb{E}[X]$ e $\mathbb{E}[\varepsilon]=0$. Expanda $\ln X$ em série de Taylor de segunda ordem em torno de $\mu$:
Taylor de $\ln X$ em torno de $\mu = \mathbb{E}[X]$:
Tomar expectativa. O termo linear desaparece ($\mathbb{E}[X-\mu]=0$):
Rearranjar:
A primeira ordem descarta $\sigma^2_{\text{rel}}$: $\ln\mathbb{E}[X] \approx \mathbb{E}[\ln X]$. O gap $+\frac{1}{2}\sigma^2_{\text{rel}} > 0$ é o gap de Jensen para $\ln$ côncava: $\ln\mathbb{E}[X] \geq \mathbb{E}[\ln X]$ é exato, e a aproximação é boa quando a variância relativa é pequena.
Na log-linearização da equação de Euler (Q3), o passo crítico é $\ln\mathbb{E}_t\!\left[\tfrac{1+r_{t+1}}{c_{t+1}}\right] \approx \mathbb{E}_t\!\left[\ln\tfrac{1+r_{t+1}}{c_{t+1}}\right]$. A justificativa é que os desvios cíclicos são percentualmente pequenos ($\sigma^2_{\text{rel}} \approx 0$ na perturbação de primeira ordem). Em modelos de segunda ordem, o termo $\tfrac{1}{2}\sigma^2_{\text{rel}}$ gera um prêmio de risco na Euler — um tema central em macro-finanças que a log-linearização padrão não captura.
Acurácia numérica de A1 e A2. Desvios de 1–5% (típicos de flutuações macroeconômicas) geram erros abaixo de 0.12% para A1 e abaixo de 2.5% para A2. Desvios de 20–30% (ordens de grandeza de crises severas) já implicam erros relevantes.
| $x$ | $e^x$ exato | $1+x$ (A1) | erro A1 | $\ln(1{+}x)$ exato | $x$ (A2) | erro A2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.01 | 1.01005 | 1.01000 | 0.005% | 0.00995 | 0.01000 | 0.50% |
| 0.02 | 1.02020 | 1.02000 | 0.020% | 0.01980 | 0.02000 | 1.01% |
| 0.05 | 1.05127 | 1.05000 | 0.121% | 0.04879 | 0.05000 | 2.45% |
| 0.10 | 1.10517 | 1.10000 | 0.469% | 0.09531 | 0.10000 | 4.88% |
| 0.20 | 1.22140 | 1.20000 | 1.783% | 0.18232 | 0.20000 | 9.69% |
| 0.30 | 1.34986 | 1.30000 | 3.693% | 0.26236 | 0.30000 | 14.4% |
Para $|x| \leq 0.05$: A1 tem erro abaixo de 0.12%, A2 abaixo de 2.5% — suficiente para calibração padrão. Para $|x| \leq 0.10$: A1 ainda razoável (0.5%), A2 já com 5%. Acima de 15–20%, a log-linearização pode distorcer conclusões quantitativas, e métodos de perturbação de segunda ordem ou soluções numéricas completas passam a ser necessários.
Cinco exercícios para consolidar as regras R1–R5 e as aproximações A1–A5. Os três primeiros são mecânicos. Os dois últimos exigem combinar mais de uma regra ou lidar com a aproximação A5 numericamente.
Para cada valor de $x$ abaixo, calcule $e^x$ (exato) e compare com $1+x$ (A1). Compute o erro percentual relativo $|e^x-(1+x)|/e^x \times 100\%$.
Acima de qual valor de $|x|$ o erro de A1 ultrapassa 1%?
| $x$ | $e^x$ exato | $1+x$ | erro |
|---|---|---|---|
| 0.02 | 1.02020 | 1.02000 | 0.020% |
| 0.10 | 1.10517 | 1.10000 | 0.469% |
| 0.25 | 1.28403 | 1.25000 | 2.72% |
| −0.05 | 0.95123 | 0.95000 | 0.129% |
A1 ultrapassa 1% para $|x| \gtrsim 0.14$. Note que o erro é simétrico: A1 subestima $e^x$ para $x>0$ e superestima $|e^x|$ para $x<0$, sempre pela mesma ordem $x^2/2$.
Log-linearize $Y_t = A_t K_t^\alpha$ onde $A_t$ é um choque de tecnologia e $K_t$ é o capital. Expresse $\tilde{Y}_t$ em função de $\tilde{A}_t$ e $\tilde{K}_t$.
Aplicar R1 ao produto $A_t \cdot K_t^\alpha$ e R3 à potência $K_t^\alpha$:
$\tilde{Y}_t = \tilde{A}_t + \alpha\tilde{K}_t$. Um choque de 1% em $A$ eleva $Y$ em 1%; um choque de 1% em $K$ eleva $Y$ em $\alpha \approx 0.33\%$ (participação do capital na renda).
Log-linearize a restrição de acumulação de capital $K_{t+1} = Y_t - C_t$ (depreciação 100%). Exprima $\tilde{K}_{t+1}$ em função de $\tilde{Y}_t$ e $\tilde{C}_t$. Defina a taxa de poupança de estado estacionário $\hat{s} \equiv \bar{K}/\bar{Y}$.
Substituir $K_{t+1} = \bar{K}(1+\tilde{K}_{t+1})$ etc.:
Usar SS $\bar{K} = \bar{Y}-\bar{C}$ para cancelar os termos de nível:
Dividir por $\bar{K}$ e usar $\hat{s}=\bar{K}/\bar{Y}$, $\bar{C}/\bar{K} = (1-\hat{s})/\hat{s}$:
Notar que os pesos das variáveis do lado direito são os shares de estado estacionário (análogo ao resultado de R4). Em particular: se $\hat{s}=\alpha\beta=0.33$ (Romer simplificado), $1-\hat{s}=0.67$.
Log-linearize $\ell_t = 1-n_t$ onde $n_t \in (0,1)$ é a fração de tempo trabalhada e $\ell_t$ é o lazer. Exprima $\tilde{\ell}_t$ em função de $\tilde{n}_t$. Para a calibração padrão $\bar{n}=1/3$, qual é o valor numérico do coeficiente?
Aplicar R5 diretamente com $\bar{X} = \bar{n}$, $1-\bar{X} = 1-\bar{n} = \bar{\ell}$:
Para $\bar{n}=1/3$: coeficiente $= (1/3)/(2/3) = 1/2$. Logo $\tilde{\ell}_t = -\tfrac{1}{2}\tilde{n}_t$.
Intuição: se o trabalho sobe 1% acima da tendência (de $33\%$ para $33.33\%$ do tempo), o lazer cai $0.5\%$ acima da tendência (de $67\%$ para $66.67\%$). A assimetria do coeficiente vem do fato de que o ponto de referência para o lazer ($\bar{\ell}=2/3$) é maior que o do trabalho ($\bar{n}=1/3$).
Suponha que $r_t$ assuma os valores $0\%$ ou $10\%$ com igual probabilidade (logo $\mathbb{E}[r_t]=5\%$, $\text{Var}(r_t)=0.0025$).
(a) Calcule $\ln\mathbb{E}[1+r_t]$. (b) Calcule $\mathbb{E}[\ln(1+r_t)]$. (c) Compute a diferença $(a)-(b)$ e verifique se ela é coerente com $\tfrac{1}{2}\sigma^2_{\text{rel}}$, onde $\sigma^2_{\text{rel}} = \text{Var}(1+r_t)/(\mathbb{E}[1+r_t])^2$. (d) O que acontece com a diferença se o spread for $20\text{p.p.}$ em vez de $10\text{p.p.}$ (mantendo a média)?
Dados: $1+r_t \in \{1.00,\;1.10\}$ com prob $1/2$ cada. $\mathbb{E}[1+r_t]=1.05$, $\text{Var}(1+r_t)=0.0025$.
(a) $\ln\mathbb{E}[1+r_t] = \ln 1.05 = 0.04879$
(b) $\mathbb{E}[\ln(1+r_t)] = \tfrac{1}{2}(\ln 1.00 + \ln 1.10) = \tfrac{1}{2}(0 + 0.09531) = 0.04766$
(c) Gap $= 0.04879 - 0.04766 = 0.00113$. Previsto: $\tfrac{1}{2}\sigma^2_{\text{rel}} = \tfrac{1}{2}\times 0.0025/(1.05)^2 = \tfrac{1}{2}\times 0.00227 = 0.00113$ ✓
Gap exato: $\ln 1.10 - \tfrac{1}{2}(\ln 1.00+\ln 1.20) = 0.09531 - 0.09116 = 0.00415$. Previsto: $\tfrac{1}{2}\times 0.01/(1.10)^2 = 0.00413$ ✓
Quando o spread dobra (de 10 para 20p.p.), a diferença quadruplica (de $0.00113$ para $0.00415$). Isso reflete o caráter de segunda ordem do gap: ele cresce com $\sigma^2$, não com $\sigma$.
Parte II
Teoria Econômica
O que está por trás dos modelos. Cada seção explica um mecanismo econômico e conecta ao exercício correspondente na lista.
Por que um indivíduo poupar mais do que o necessário para suavizar o consumo? A hipótese de renda permanente diz que, sob certeza ou com mercados completos, o agente usa toda a informação disponível para suavizar o consumo ao longo da vida. A poupança serve apenas para transferir recursos entre períodos, não como seguro.
Mas quando há incerteza que não pode ser segurada, surge um motivo adicional para poupar: a precaução. O agente acumula um "colchão" de ativos para se proteger contra estados futuros adversos. Esse mecanismo tem nome na literatura: poupança precaucionária.
A certeza equivalência é a propriedade de que um agente age como se os valores aleatórios fossem iguais às suas médias. Ela vale exatamente quando a função objetivo é quadrática (linear nas utilidades marginais). Para uma função de utilidade com curvatura maior, a certeza equivalência falha.
Formalmente: certeza equivalência vale $\Leftrightarrow$ $u'''(c) = 0$. Com utilidade log, $u'''(c) = 2/c^3 > 0$. Portanto, a log falha a certeza equivalência na direção da prudência.
O papel da terceira derivada. Kimball (1990) mostrou que a grandeza relevante para a poupança precaucionária é o coeficiente de prudência absoluta: $-u'''(c)/u''(c)$. Para a utilidade log, $u'' = -1/c^2$ e $u''' = 2/c^3$, dando prudência absoluta $= 2/c > 0$.
Mais prudência implica mais poupança precaucionária em resposta à incerteza. O resultado não depende de qual é a fonte de incerteza: pode ser a taxa de juros (como em Q1), a renda futura, ou a duração da vida.
Um aumento na incerteza sobre qualquer variável aleatória que afeta o consumo futuro reduz o consumo presente (aumenta a poupança) se e somente se a função de utilidade tiver $u''' > 0$. Para $u = \ln c$, essa condição é satisfeita. Para utilidade quadrática ($u'' = $ cte, $u''' = 0$), a poupança não responde à incerteza.
Conexão com Jensen. A equação de Euler com taxa de juros estocástica é $1/C_1 = \mathbb{E}[(1+r)/C_2]$. O lado direito é a esperança de $\varphi(r) = (1+r)/[Y_2-(1+r)C_1]$, que é convexa em $r$. Por Jensen: $\mathbb{E}[\varphi(r)] > \varphi(\mathbb{E}[r])$. Isso força $C_1$ para baixo quando a variância de $r$ aumenta — mesmo que a média não mude.
O que é a BGP. Uma trajetória de crescimento equilibrado (Balanced Growth Path, BGP) é uma solução particular do modelo em que as variáveis crescem a taxas constantes. Em modelos neoclássicos com crescimento exógeno de tecnologia, a BGP tem: produto, consumo e capital crescendo à mesma taxa $g$; horas trabalhadas constantes; taxa de juros real constante.
A BGP é o ponto de referência para a log-linearização. Quando escrevemos $\tilde{X}_t = \ln X_t - \ln \bar{X}_t$, a barra denota o valor de $X$ sobre a BGP no período $t$. Os desvios $\tilde{X}_t$ medem o quanto a variável se afasta temporariamente de sua trajetória tendencial.
Em modelos com crescimento ($g > 0$), as variáveis nunca param de crescer. Não há nível fixo em torno do qual expandir. A saída é trabalhar com variáveis normalizadas (por exemplo, em per capita ou per effective worker), que si têm estado estacionário. A log-linearização então mede desvios em relação ao estado estacionário dessas variáveis normalizadas, o que é equivalente a medir desvios em relação à BGP para as variáveis em nível.
A equação de Euler. A Euler é a condição de ótimo intertemporal do consumidor. Ela diz: no ótimo, o consumidor é indiferente entre consumir uma unidade a mais hoje ou poupar, investir e consumir o retorno amanhã. Com utilidade log $u(c) = \ln c$:
Esta equação rege como o consumo evolui ao longo do tempo. Log-linearizada (ver Q3), ela vira:
Leitura: o consumo hoje fica abaixo do consumo esperado amanhã quando a taxa de retorno esperada está alta. O coeficiente é 1 porque a EIS (elasticidade intertemporal de substituição) é 1 para a log-utilidade. Para CRRA com parâmetro $\sigma$, a EIS é $1/\sigma$ e o coeficiente seria $1/\sigma$.
A elasticidade intertemporal de substituição mede quanto o consumidor está disposto a alterar o perfil temporal do consumo em resposta a mudanças na taxa de juros. Estimativas vão de 0.1 a 2 dependendo do método e da amostra. EIS baixa: taxa de juros move pouco o consumo; política monetária tem efeito real limitado via canal intertemporal. EIS alta: política monetária mais poderosa. O consenso atual da literatura empírica sugere EIS entre 0.3 e 0.7, abaixo do valor 1 implícito na log-utilidade.
Um modelo RBC (Real Business Cycle) é uma extensão do modelo neoclássico de crescimento para incorporar flutuações. Os ingredientes básicos: famílias que maximizam utilidade intertemporal, firmas que maximizam lucro, mercados competitivos que limpam em todo período, e choques exógenos de produtividade.
1. Impacto imediato: $A_t$ sobe $\Rightarrow$ $Y_t = A_t K_t^\alpha (\eta N_t)^{1-\alpha}$ sobe para qualquer nível de trabalho e capital dados.
2. Mercado de trabalho: o salário real $w_t = (1-\alpha)Y_t/(\eta N_t)$ sobe. Trabalhadores respondem trabalhando mais (efeito substituição intertemporal do trabalho domina o efeito renda quando a persistência do choque é alta).
3. Mercado de capital: o retorno ao capital sobe, induzindo mais poupança e mais investimento. Via Euler, o consumo sobe gradualmente ao longo do tempo.
4. Persistência: se $A_t$ segue um AR(1) com $\rho$ alto, o choque persiste. Capital acumulado hoje alimenta produto amanhã, criando dinâmica de ciclo que parece com os dados.
O que o modelo reproduce bem e o que ele não reproduce.
| Dimensão | Dados EUA | Modelo RBC | Avaliação |
|---|---|---|---|
| $\sigma_I/\sigma_Y$ | ≈ 3.15 | ≈ 3.28 | bom |
| $\sigma_C/\sigma_Y$ | ≈ 0.72 | ≈ 0.32 | subestima |
| $\sigma_H/\sigma_Y$ | ≈ 1.09 | ≈ 0.38 | falha grave |
| Persistência do ciclo | alta | alta (via $\rho_A$) | adequado |
| Efeitos reais da moeda | evidentes | inexistentes | falha estrutural |
Por que as horas trabalhadas falham tanto. No modelo RBC, os trabalhadores ajustam as horas em resposta a variações no salário real ao longo do tempo (substituição intertemporal). Mas evidências microeconômicas mostram que a elasticidade intertemporal do trabalho no nível individual é baixa: as pessoas não trabalham muito mais quando o salário sobe temporariamente. O modelo precisa de uma elasticidade alta para reproduzir a volatilidade das horas, mas os dados individuais não suportam isso.
A extensão de Hansen (1985) com trabalho indivisível (ou-trabalha-ou-não-trabalha) resolve parcialmente o problema, gerando elasticidade agregada alta mesmo com elasticidade individual baixa. Mas isso requer um mercado de seguros implícito que é difícil de justificar.
O modelo simplificado do Romer (capítulo 4, sem governo, com depreciação de 100% e utilidade log) tem duas propriedades notáveis: a oferta de trabalho $\eta$ e a taxa de poupança $\hat{s}$ são constantes, independentes de qualquer choque de tecnologia. Essas propriedades não são hipóteses — são conclusões das equações do modelo. Entender de onde vêm é o objetivo das provas de Q8 e Q9.
A condição intratemporal iguala a desutilidade marginal do trabalho ao salário real. Quando a tecnologia melhora ($A_t$ sobe), tanto o salário ($w_t \propto Y_t/N_t$) quanto o consumo per capita ($c_t \propto Y_t/N_t$) sobem na mesma proporção. Na condição intratemporal $bc_t/(1-\eta_t) = w_t$, tanto o numerador quanto o denominador do lado esquerdo sobem e descem junto com $Y_t/N_t$. O termo $Y_t/N_t$ cancela dos dois lados. O que determina $\eta$ são apenas os parâmetros estruturais do modelo.
Com log-utilidade e depreciação de 100%, a equação de Euler implica que a decisão ótima é sempre poupar uma fração constante da renda. A intuição é que a log-utilidade tem a propriedade de que os efeitos renda e substituição se cancelam precisamente: quando a taxa de retorno sobe (o que encoraja poupar mais), a riqueza também sobe (o que permite consumir mais). Os dois efeitos se anulam, e a fração poupada permanece $\hat{s} = \alpha\beta$.
A depreciação de 100% é necessária porque ela garante que o problema seja estacionário período a período: o capital do período anterior não carreia riqueza de forma assimétrica para o presente.
O que quebra essas propriedades. As constâncias dependem de hipóteses específicas. Cada uma que for relaxada muda o resultado:
| Mudança | Efeito sobre $\eta$ | Efeito sobre $\hat{s}$ |
|---|---|---|
| Utilidade CRRA com $\sigma \neq 1$ no consumo | pode ainda ser constante | $\hat{s}$ varia com o ciclo |
| Depreciação $\delta < 1$ | constante (mantém) | $\hat{s}$ não tem forma fechada |
| Utilidade não-separável em $c$ e $\ell$ | depende de $A_t$ | depende da forma |
| Mercados incompletos (Aiyagari) | distribuição importa | varia com incerteza agregada |
O custo das hipóteses. A constância da taxa de poupança é, ao mesmo tempo, o que torna o modelo elegante e analiticamente tratável, e o que o impede de gerar comportamento realista em episódios de crise. Quando a incerteza aumenta drasticamente, como em 2008, os agentes devem poder aumentar a poupança como resposta precaucionária. Um modelo com taxa de poupança constante, por construção, não consegue gerar isso.
A solução da literatura é usar modelos com heterogeneidade de agentes e mercados incompletos (Aiyagari 1994, Krusell-Smith 1998), onde a distribuição da riqueza entre os agentes varia com o ciclo e a taxa de poupança agregada responde à incerteza. O custo: esses modelos não têm solução analítica; dependem de simulações numéricas com distribuições de agentes.
As quatro seções desta parte II descrevem a mesma tensão de ângulos diferentes: os modelos macroeconômicos analiticamente tratáveis exigem hipóteses que impedem de gerar comportamento de crise. A escolha entre tractabilidade e realismo empírico é intencional, não um descuido. Saber onde cada hipótese está sendo feita, e o que ela exclui, é o que separa quem usa o modelo de quem entende o modelo.