Resolução Completa com Explicações Detalhadas
O Modelo de Harrod-Domar é um modelo de crescimento que assume proporções fixas entre capital e trabalho (função de produção de Leontief). A ideia central é que o crescimento econômico depende da taxa de poupança e da produtividade do capital.
A função de produção é: $Y = z \min(K, N)$, onde $z$ é a produtividade, $K$ é o capital e $N$ é o trabalho.
Objetivo: Derivar a lei de movimento do capital por trabalhador.
Partimos das definições dadas no enunciado:
Da função $Y = z \min(K, N)$, dividindo por $N$:
$$y = \frac{Y}{N} = z \min\left(\frac{K}{N}, 1\right) = z \min(k, 1)$$Interpretação: O capital futuro por trabalhador depende da poupança ($s$), da produtividade ($z$) e é diluído pelo crescimento populacional ($n$). O termo $\min(k,1)$ reflete a natureza de proporções fixas da tecnologia Leontief.
Objetivo: Encontrar a taxa de poupança mínima que permite um estado estacionário com produção positiva.
No estado estacionário, temos $k' = k$. Para haver um estado estacionário com produção positiva, precisamos que $k^* = 1$ seja alcançável.
Para $s < s_{min}$, o capital por trabalhador converge para zero. Para $s > s_{min}$, existe um estado estacionário com $k = 1$ e $y = z$.
Interpretação Econômica:
| Parâmetro | Suíça | Sudão |
|---|---|---|
| $n$ (crescimento pop.) | 0,01 (1%) | 0,03 (3%) |
| $s$ (taxa poupança) | 0,20 (20%) | 0,10 (10%) |
| $z$ (produtividade) | 5,15 | 5,15 |
Calculamos $s_{min}$ para cada país:
Comparação:
A Suíça consegue acumular capital suficiente para manter produção positiva no longo prazo. O Sudão, com alta taxa de crescimento populacional e baixa poupança, não consegue — seu capital por trabalhador converge para zero.
Resolvemos $s_{min} = s$ para $n$:
Análise Comparativa:
A elevação da taxa de poupança/investimento é claramente mais atraente como estratégia de desenvolvimento para o Sudão, por várias razões:
O Modelo de Solow é o modelo neoclássico de crescimento por excelência. Suas principais características:
No modelo de Solow, no estado estacionário:
onde $n$ é o crescimento populacional e $g$ é o progresso tecnológico.
Explicação: A taxa de poupança $s$ afeta o nível do produto per capita no estado estacionário, mas não sua taxa de crescimento de longo prazo. No estado estacionário:
A poupança maior eleva $y^*$, mas a taxa de crescimento per capita é sempre $g$, independente de $s$.
Atenção: Durante a transição para o estado estacionário, uma maior poupança gera crescimento mais rápido temporariamente. Mas no longo prazo, apenas o progresso tecnológico sustenta o crescimento per capita.
Explicação: No estado estacionário do modelo de Solow, a relação capital-produto $\frac{K}{Y}$ é constante, não crescente.
Considere a função Cobb-Douglas: $Y = K^\alpha (AL)^{1-\alpha}$
No estado estacionário, $\tilde{k}^* = \frac{K}{AL}$ é constante, logo $\frac{K}{Y}$ também é constante. Este é um dos fatos estilizados de Kaldor que o modelo replica.
Esta afirmação refere-se à convergência, um resultado importante do modelo de Solow.
Tipos de Convergência:
A taxa de crescimento do capital por trabalhador efetivo é:
Como $\alpha - 1 < 0$, um $\tilde{k}$ menor implica $\tilde{k}^{\alpha-1}$ maior, logo crescimento mais rápido.
Conclusão: O modelo prevê convergência condicional: países mais pobres crescem mais rápido apenas se tiverem os mesmos parâmetros fundamentais ($s$, $n$, $g$, $\delta$, $\alpha$). Empiricamente, observa-se convergência entre países similares (ex: estados dos EUA, países da OCDE), mas não globalmente.
Esta afirmação é verdadeira durante a transição, mas falsa no estado estacionário.
Durante a transição: Um aumento em $s$ eleva o estado estacionário $\tilde{k}^*$. Como o país está abaixo do novo $\tilde{k}^*$, ele cresce mais rápido temporariamente até alcançá-lo.
No longo prazo: A taxa de crescimento per capita retorna a $g$.
Portanto, a poupança afeta o nível de renda per capita, não sua taxa de crescimento permanente.
Explicação: Todos os países convergem para o estado estacionário no modelo de Solow, independentemente de seu estoque inicial de capital.
O modelo possui um estado estacionário único e globalmente estável:
Países ricos (alto $k$) e países pobres (baixo $k$) ambos convergem para $k^*$. A diferença está na velocidade: países mais distantes do estado estacionário crescem/decrescem mais rapidamente.
Motivação: O modelo de Solow original explica apenas cerca de 50% da variação de renda entre países. Mankiw, Romer e Weil (1992) mostraram que adicionar capital humano melhora significativamente o poder explicativo.
Definimos as variáveis por unidade de trabalho efetivo: $k = \frac{K}{AL}$ e $h = \frac{H}{AL}$
Passo 1: Usar a regra do quociente para derivar $k$:
Dividindo por $AL$:
$$\frac{\dot{K}}{AL} = s_K \frac{Y}{AL} - d\frac{K}{AL} = s_K y - dk$$Da função de produção $Y = K^\alpha H^\lambda (AL)^{1-\alpha-\lambda}$:
$$y = \frac{Y}{AL} = k^\alpha h^\lambda$$Por simetria, para o capital humano:
Interpretação: Cada tipo de capital cresce com seu respectivo investimento ($s_K y$ ou $s_H y$) e é "diluído" pelo crescimento da força de trabalho efetiva ($n + g$) e pela depreciação ($d$).
Condições de estado estacionário: $\dot{k} = 0$ e $\dot{h} = 0$
Para $h^*$:
Para a produção $y^* = (k^*)^\alpha (h^*)^\lambda$:
Taxa de crescimento do produto per capita:
No estado estacionário, $k$ e $h$ são constantes, então:
O modelo explica diferenças nas taxas de crescimento?
Não diretamente. Se todos os países estão em estado estacionário e têm o mesmo $g$, todos cresceriam à mesma taxa. Porém:
Limitação do modelo: O crescimento de longo prazo ($g$) permanece exógeno. Este é um dos motivos para o desenvolvimento de modelos de crescimento endógeno, que explicam $g$ através de investimentos em P&D, capital humano, etc.
Diferença fundamental do modelo de Solow: No modelo RCK, a taxa de poupança é determinada endogenamente pela otimização intertemporal das famílias, que maximizam utilidade ao longo do tempo.
A Regra de Ouro Modificada surge naturalmente: o consumo é maximizado considerando a impaciência (desconto temporal) dos agentes.
Devemos mostrar que $\dot{k}(t) = sy(t) - c(t) - (\delta + n_L)k(t)$ é equivalente a $\dot{a}(t) = [r(t) - n_L]a(t) + W(t) - c(t)$
Contexto: $a(t)$ representa ativos por trabalhador (que em equilíbrio igualam o capital $k$), $W(t)$ é o salário, e $r(t)$ é a taxa de juros.
Devemos mostrar: $\frac{\delta + n_L}{s} = \frac{\rho + \delta + n_L}{\alpha}$
Da otimização intertemporal: $\frac{\dot{c}}{c} = \sigma[r - \rho]$
No estado estacionário, $\dot{c} = 0$, então:
$$r^* = \rho$$A condição de Keynes-Ramsey modificada é:
$$r^* = \rho + n_L + \delta \quad \text{(incluindo depreciação)}$$Mas em termos do produto marginal bruto:
$$f'(k^*) = \rho + n_L + \delta$$ $$\alpha A (k^*)^{\alpha-1} = \rho + n_L + \delta$$Interpretação: Esta relação mostra como a taxa de poupança ótima $s$ depende de:
Problema Ótimo Inverso: Dada uma regra de decisão ótima observada (aqui, $s$ constante), encontrar a função de utilidade que a gera.
Objetivo: Mostrar que apenas funções de utilidade CRRA (Elasticidade de Substituição Constante) são consistentes com taxa de poupança constante no modelo de Ramsey.
A condição de primeira ordem intertemporal é:
$$\frac{\dot{c}}{c} = \sigma(c) \cdot [r - (\rho + n_L + \delta)]$$onde $\sigma(c) = -\frac{u'(c)}{c \cdot u''(c)}$ é a elasticidade de substituição intertemporal.
Se $s$ é constante, então $c = (1-s)y$ e:
$$\frac{\dot{c}}{c} = \frac{\dot{y}}{y} = \alpha \frac{\dot{k}}{k}$$$\dot{c}/c = 0$ implica $r = \rho + n_L + \delta$.
Fora do estado estacionário, para que $s$ seja constante ao longo de toda a trajetória, precisamos que $\sigma(c)$ seja constante.
Se $\sigma$ é constante, então:
$$-\frac{u'(c)}{c \cdot u''(c)} = \sigma \quad \Rightarrow \quad \frac{u''(c)}{u'(c)} = -\frac{1}{\sigma c}$$Integrando:
$$\ln u'(c) = -\frac{1}{\sigma} \ln c + \text{const}$$ $$u'(c) = A \cdot c^{-1/\sigma}$$Integrando novamente:
$$u(c) = \frac{c^{1-1/\sigma}}{1-1/\sigma} + \text{const} \quad \text{(para } \sigma \neq 1\text{)}$$Por que CRRA é única: Qualquer outra forma funcional faria $\sigma$ variar com $c$, o que implicaria uma taxa de poupança variável ao longo da trajetória de transição, contradizendo a premissa de $s$ constante.
Da equação de Euler dada:
Nota: Há um aparente erro no enunciado. A forma padrão é $\frac{\dot{c}}{c} = \sigma [r - (\rho + n_L)]$. Assumiremos a forma padrão.
Usando a condição de Euler com $\dot{c}/c = 0$:
$$r^* = \rho + n_L + \delta$$ $$\alpha A (k^*)^{\alpha-1} = \rho + n_L + \delta$$No estado estacionário:
$$s = \frac{(\delta + n_L)k^*}{y^*} = (\delta + n_L) \frac{k^*}{Ak^{*\alpha}} = \frac{\delta + n_L}{A(k^*)^{\alpha-1}}$$Da Euler: $A(k^*)^{\alpha-1} = \frac{\rho + n_L + \delta}{\alpha}$
$$s = \frac{\alpha(\delta + n_L)}{\rho + n_L + \delta}$$A elasticidade de substituição $\sigma$ está relacionada com o coeficiente de aversão ao risco $\theta$ por $\sigma = 1/\theta$. Em modelos com poupança proporcional constante, pode-se mostrar que:
$$\sigma = s$$Da relação $s = \frac{\alpha(\delta + n_L)}{\rho + \delta + n_L}$:
Interpretação econômica de $s < \alpha$:
Conexão com a Regra de Ouro: Na regra de ouro pura (sem desconto, $\rho = 0$), teríamos $s = \alpha$. A impaciência ($\rho > 0$) reduz a poupança abaixo desse nível "ideal" em termos de estado estacionário, mas é ótima dados as preferências dos agentes.
Crescimento Endógeno: Diferente dos modelos de Solow e Ramsey, aqui a taxa de crescimento de longo prazo é determinada dentro do modelo, não por um fator exógeno.
Modelo dado:
onde $h_t$ (capital humano) é proporcional ao capital físico per capita $k_t = K_t/L$.
Da equação $h_t = bk_t$, o capital humano não é acumulado diretamente através de decisões de investimento em educação. Ele é uma externalidade (ou "efeito colateral") da acumulação de capital físico.
Interpretação: Quando as firmas investem em capital físico, elas inadvertidamente geram conhecimento, habilidades e "learning-by-doing" que beneficiam toda a economia. Este é um modelo do tipo Romer (1986) / Arrow (1962).
Razão: Como $h_t$ é uma externalidade, as firmas individuais não internalizam o benefício social de seus investimentos em capital.
Resultado: Subinvestimento no equilíbrio descentralizado — as firmas investem menos do que seria socialmente ótimo.
Solução: O planejador social internaliza a externalidade e escolhe mais investimento. Políticas como subsídios ao investimento ou à P&D podem aproximar o equilíbrio descentralizado do ótimo social.
Passo 1: Reescrever a função de produção
Substituindo $h_t = bk_t$ e $k_t = K_t/L$:
Esta é uma tecnologia AK! Seja $A = b^{1-\alpha}$, então $Y_t = AK_t$.
Tecnologia AK: A função de produção é linear em $K$, o que elimina os retornos decrescentes e permite crescimento perpétuo.
Sujeito a:
Como $L$ é constante, seja $y_t = Y_t/L = Ak_t$ e $c_t = C_t/L$:
$$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + Ak_t - c_t = (1-\delta+A)k_t - c_t$$Em relação a $c_t$:
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_t}: \quad c_t^{-\frac{1}{\theta}} = \lambda_t$$Em relação a $k_{t+1}$:
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k_{t+1}}: \quad \beta^t \lambda_t = \beta^{t+1} \lambda_{t+1}(1-\delta+A)$$ $$\lambda_t = \beta \lambda_{t+1}(1-\delta+A)$$ou em forma contínua: $g_c = \theta[\ln\beta + \ln(1-\delta+A)] \approx \theta(A - \delta - \rho)$
onde $\beta = \frac{1}{1+\rho}$, sendo $\rho$ a taxa de desconto.
Para economia AK com função linear:
Da restrição de recursos: $y_t = c_t + i_t$, onde $i_t = k_{t+1} - (1-\delta)k_t$
Se o crescimento é balanceado (todas as variáveis per capita crescem à taxa $g$):
A taxa de poupança/investimento é:
Substituindo $g = [\beta(1-\delta+A)]^\theta - 1$:
Características do Modelo AK:
Comparação com Solow/Ramsey:
| Característica | Solow/Ramsey | AK Endógeno |
|---|---|---|
| Retornos do capital | Decrescentes ($\alpha < 1$) | Constantes (lineares) |
| Crescimento longo prazo | Exógeno ($g$) | Endógeno |
| Convergência | Sim (condicional) | Não |
| Efeito de políticas | Temporário (transição) | Permanente |