Material de Estudos – Microeconomia III (Parte 1)

1.1 Setup e Caixa de Edgeworth

Uma economia de trocas puras com $I$ consumidores e $L$ bens é descrita por:

Preferências $\succcurlyeq_i$ sobre $\mathbb{R}^L_+$, representadas por $u_i$.
Dotações iniciais $\omega_i \in \mathbb{R}^L_+$, com dotação agregada $\bar\omega_\ell = \sum_i \omega_{\ell i}$.
Um vetor de preços $p = (p_1,\dots,p_L) \in \mathbb{R}^L_+$.

Definição – Alocação Factível

Uma alocação $x = (x_1,\dots,x_I)$ é factível se \[\sum_{i=1}^I x_{\ell i} \leq \bar\omega_\ell \quad \forall \ell.\] Diz-se sem desperdício (ou factível com igualdade) quando vale a igualdade.

No caso $I=2$, $L=2$ a Caixa de Edgeworth representa geometricamente todas as alocações factíveis: um retângulo $[0,\bar\omega_1]\times[0,\bar\omega_2]$, com a perspectiva do consumidor 1 medida a partir do canto inferior-esquerdo e a do consumidor 2 a partir do superior-direito.

1.2 Maximização de Utilidade

O conjunto orçamentário do consumidor $i$ a preços $p$ é \[B_i(p) = \{x_i \in \mathbb{R}^L_+ : p\cdot x_i \leq p\cdot\omega_i\}.\] Sob Não-Saciedade Local (LNS), a restrição é satisfeita com igualdade no ótimo.

Cobb-Douglas

Para $u_i(x_1,x_2) = x_1^\alpha x_2^\beta$ com $\alpha,\beta>0$, a solução interior satisfaz:

$$\mathcal{L} = x_1^\alpha x_2^\beta - \lambda(p_1 x_1 + p_2 x_2 - w_i)$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \alpha x_1^{\alpha-1}x_2^\beta = \lambda p_1, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \beta x_1^\alpha x_2^{\beta-1} = \lambda p_2$$

Dividindo: $\dfrac{\alpha}{\beta}\cdot\dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{p_1}{p_2}$. Combinando com a restrição orçamentária $w_i = p_1 x_1+p_2 x_2$:

$$\boxed{x_{\ell i}^* = \frac{\alpha_\ell}{\alpha+\beta}\cdot\frac{w_i}{p_\ell}, \quad \alpha_1=\alpha,\, \alpha_2=\beta}$$

A proporção da renda gasta em cada bem é constante (propriedade cardinal das preferências CD).

Exemplo – Prova 2025, Questão 1

$u_A = x_1^{1/4}x_2^{3/4}$, $\omega_A = (12,0)$. Renda: $w_A = 12p_1$.

\[x_{1A} = \frac{1/4}{1}\cdot\frac{12p_1}{p_1} = 3, \qquad x_{2A} = \frac{3/4}{1}\cdot\frac{12p_1}{p_2} = \frac{9p_1}{p_2}.\]

Note que $x_{1A}=3$ independe de preços (renda proporcional a $p_1$ cancela).

Leontief: $u = \min\{ax_1, bx_2\}$

O ótimo ocorre no kink da curva de indiferença, onde $ax_1 = bx_2$, ou seja, $x_2 = (a/b)x_1$. Substituindo na restrição orçamentária:

$$x_1^* = \frac{b \cdot w_i}{bp_1 + ap_2}, \qquad x_2^* = \frac{a \cdot w_i}{bp_1 + ap_2}.$$

Para $u = \min\{x_1,x_2\}$ ($a=b=1$): $x_1^* = x_2^* = w_i/(p_1+p_2)$.

Atenção – Solução de Canto

A Cobb-Douglas nunca tem solução de canto quando $p\gg 0$, pois $u(0,x_2) = 0$ e qualquer alocação com $x_1,x_2>0$ gera utilidade positiva. Sempre verifique se há soluções de canto quando a utilidade de canto iguala a de interior.

1.3 Equilíbrio Walrasiano

Definição – Equilíbrio Walrasiano (Competitivo)

Um par $(p^*, x^*)$ é um equilíbrio walrasiano se:

Para cada $i$: $x_i^* \in \arg\max_{x_i \in B_i(p^*)} u_i(x_i)$ (otimização individual).
Mercados se equilibram: $\displaystyle\sum_i x_{\ell i}^* = \bar\omega_\ell$ para todo $\ell$ (factibilidade com igualdade).

Lei de Walras

Teorema – Lei de Walras

Se cada consumidor satisfaz a restrição orçamentária com igualdade (LNS), então para quaisquer preços $p$:

\[\sum_{\ell=1}^L p_\ell\!\left(\sum_i x_{\ell i}(p) - \bar\omega_\ell\right) = 0.\]

Corolário: Se $L-1$ mercados estão em equilíbrio e $p\gg 0$, o $L$-ésimo também está. Basta encontrar o preço relativo usando um único mercado.

Exemplo – Encontrando o Preço Relativo

Continuando a Questão 1 da prova: Bruna tem $u_B = \min\{x_1,x_2\}$, $\omega_B=(0,12)$, logo $x_{1B}=x_{2B}$ na solução interior.

Passo 1: Da factibilidade do bem 1: $x_{1A}+x_{1B}=12 \Rightarrow 3+x_{1B}=12 \Rightarrow x_{1B}=9$.

Passo 2: Da maximização de Bruna: $x_{2B}=x_{1B}=9$.

Passo 3: Da factibilidade do bem 2: $x_{2A}=12-9=3$.

Passo 4: Da demanda de Andrea pelo bem 2: $x_{2A}=\tfrac{9p_1}{p_2}=3 \Rightarrow \tfrac{p_1}{p_2}=\tfrac{1}{3}$.

Equilíbrio: $p^*=(p_2/3, p_2)$, $x^*=((3,3),(9,9))$.

Análise de Equilíbrios de Canto

É essencial verificar sistematicamente todos os casos de preços-limite. O procedimento padrão:

Caso	O que verificar	Conclusão típica
$p_1,p_2>0$	Solução interior	Caso genérico
$p_1=0, p_2>0$	Demanda de cada agente pelo bem 1	Geralmente viola factibilidade
$p_1>0, p_2=0$	Demanda pelo bem 2 →∞?	Geralmente viola factibilidade
$p_1=p_2=0$	Nenhum tem renda; verificar indiferença	Pode existir equilíbrio de canto

1.4 Ótimo de Pareto e Curva de Contrato

Definição – Ótimo de Pareto

Uma alocação factível $x^*$ é Pareto-ótima se não existe outra alocação factível $x'$ tal que $x'_i \succcurlyeq_i x^*_i$ para todo $i$, com $x'_j \succ_j x^*_j$ para algum $j$.

Com preferências estritamente convexas e interiores, o ótimo de Pareto se caracteriza pela tangência das curvas de indiferença: \[\text{TMS}_1(x_1^*,x_2^*) = \text{TMS}_2(x_1^*,x_2^*),\] onde $\text{TMS}_i = -\partial u_i/\partial x_1 \div \partial u_i/\partial x_2$.

O conjunto de todos os ótimos de Pareto no interior da caixa de Edgeworth é a curva de contrato.

1.5 Teoremas Fundamentais do Bem-Estar

Primeiro Teorema do Bem-Estar (1TBE)

Se as preferências são LNS e $(p^*,x^*)$ é um equilíbrio walrasiano, então $x^*$ é Pareto-ótimo.

Prova do 1TBE

Por contradição. Suponha $x'$ factível que Pareto-domina $x^*$.

Para $i_0$ com preferência estrita: $x'_{i_0} \succ_{i_0} x^*_{i_0}$. Como $x^*_{i_0}$ maximiza $u_{i_0}$ no conjunto orçamentário, qualquer coisa estritamente preferida está fora do orçamento: $p^*\cdot x'_{i_0} > p^*\cdot\omega_{i_0}$.
Para $i \neq i_0$ com $x'_i \succcurlyeq_i x^*_i$: Suponha $p^*\cdot x'_i < p^*\cdot\omega_i$. Pela LNS, existe $x''$ próximo de $x'_i$ com $x''\succ x'_i \succcurlyeq x^*_i$ e $x''\in B_i(p^*)$, contradizendo a otimalidade de $x^*_i$. Logo $p^*\cdot x'_i \geq p^*\cdot\omega_i$.
Somando sobre $i$: $p^*\cdot\sum_i x'_i > p^*\cdot\sum_i\omega_i = p^*\cdot\bar\omega$.
Contradição: A factibilidade de $x'$ impõe $\sum_i x'_{\ell i} \leq \bar\omega_\ell$ e $p^*\gg 0$, logo $p^*\cdot\sum_i x'_i \leq p^*\cdot\bar\omega$. Absurdo. $\square$

Segundo Teorema do Bem-Estar (2TBE)

Se as preferências são LNS, contínuas e estritamente convexas, então qualquer alocação Pareto-ótima $x^*$ pode ser sustentada como equilíbrio walrasiano após uma redistribuição de riqueza (transferências lump-sum), via algum vetor de preços $p^*$.

Falha do 2TBE – Preferências Não-Convexas

Com preferências não-convexas (ex: $u = x_1^2 + x_2^2$), ótimos de Pareto na fronteira da caixa podem não ser sustentados por nenhum sistema de preços – o hiperplano de suporte em pontos não-convexos pode não ser único ou pode não separar os conjuntos de preferência.

2.1 Bens Contingentes e Utilidade Esperada

Com incerteza, o espaço de mercadorias se expande: um bem físico $\ell$ no estado $s$ é uma mercadoria diferente. Com $L$ bens físicos e $S$ estados, o espaço de mercadorias é $\mathbb{R}^{LS}$.

Definição – Utilidade Esperada de VNM

A utilidade esperada de Von Neumann-Morgenstern do consumidor $i$ é:

\[U_i(x_{1i},\dots,x_{Si}) = \sum_{s=1}^S \pi_s \, u_i(x_{si}),\]

onde $\pi_s > 0$ é a probabilidade do estado $s$ ($\sum_s \pi_s = 1$) e $u_i$ é a função de Bernoulli (utilidade cardinal).

A aversão ao risco é capturada pela concavidade de $u_i$: se $u_i'' < 0$, o agente prefere a esperança matemática ao risco. Exemplos:

Bernoulli $u_i(x)$	Atitude ao risco	Intuição
$\ln x$	Averso (côncava)	Marginal decrescente
$x$ (linear)	Neutro	Indiferente ao risco
$x^2$	Propenso (convexa)	Marginal crescente

2.2 Equilíbrio de Arrow-Debreu

Definição – Equilíbrio de Arrow-Debreu

Com $L=1$ bem físico e $S$ estados (generalização imediata para $L>1$): um equilíbrio de Arrow-Debreu é um par $(p^*,x^*)$ com $p^*=(p_1^*,\dots,p_S^*)$ (preços contingentes em $t=0$) e $x^*=(x_{si})$ tais que:

Cada agente $i$ maximiza a utilidade esperada sujeito a uma única restrição orçamentária: $\displaystyle\sum_s p_s x_{si} \leq \sum_s p_s \omega_{si} \equiv w_i$.
Factibilidade em cada estado: $\displaystyle\sum_i x_{si} = \sum_i \omega_{si}$ para todo $s$.

Demanda com Utilidade Logarítmica

Para $u_i = \ln$, a lagrangiana é:

$$\mathcal{L} = \sum_s \pi_s \ln x_{si} - \lambda\!\left(\sum_s p_s x_{si} - w_i\right)$$ $$\text{CPO: } \frac{\pi_s}{x_{si}} = \lambda p_s \;\Rightarrow\; x_{si} = \frac{\pi_s}{\lambda p_s}.$$

Substituindo na restrição orçamentária: $\sum_s p_s \cdot \frac{\pi_s}{\lambda p_s} = w_i \;\Rightarrow\; \frac{1}{\lambda} = w_i$ (pois $\sum_s\pi_s=1$).

Fórmula Central – Demanda AD com Log

\[\boxed{x_{si}^* = \frac{\pi_s \, w_i}{p_s}}\]

O consumo no estado $s$ é proporcional à probabilidade de $s$ e à riqueza total $w_i$, e inversamente proporcional ao preço contingente $p_s$.

Exemplo Completo – Famílias Amoreira e Boaventura

Dados: $\pi_1=\pi_2=1/2$, $\omega_A=(10,0)$, $\omega_B=(0,30)$, $u_i=\ln$.

Passo 1 – Riquezas: $w_A = 10p_1$, $w_B = 30p_2$.

Passo 2 – Demandas: \[x_{1A} = \frac{(1/2)\cdot 10p_1}{p_1} = 5, \quad x_{2A} = \frac{(1/2)\cdot 10p_1}{p_2} = \frac{5p_1}{p_2}\] \[x_{1B} = \frac{(1/2)\cdot 30p_2}{p_1} = \frac{15p_2}{p_1}, \quad x_{2B} = \frac{(1/2)\cdot 30p_2}{p_2} = 15\]

Passo 3 – Market clearing (estado 1): $x_{1A}+x_{1B}=10 \;\Rightarrow\; 5 + \frac{15p_2}{p_1}=10 \;\Rightarrow\; \frac{p_1}{p_2}=3$.

Passo 4 – Verificação (estado 2): $x_{2A}=5\cdot(1/3)\cdot3^{-1}$... mais direto: $x_{2A}=5p_1/p_2=5\cdot3=15$. $x_{2B}=15$. $15+15=30$ ✓

Equilíbrio AD: $p^*=(3p_2,p_2)$, $x_A^*=(5,15)$, $x_B^*=(5,15)$.

2.3 Compartilhamento de Risco

O equilíbrio AD com mercados completos implica compartilhamento eficiente do risco agregado. Duas regras práticas:

Regras de Compartilhamento de Risco

Agentes simétricos com mesma riqueza: consomem o mesmo em equilíbrio (ex: Amoreira e Boaventura acima, mesmo com dotações assimétricas, pois as riquezas se igualam pelo preço relativo).
Agente neutro ao risco ($u_C(x)=x$): as CPO implicam $\pi_s = \lambda p_s$, ou seja, $p_s/p_{s'} = \pi_s/\pi_{s'}$. Com probabilidades iguais, $p_1=p_2$. O agente neutro absorve todo o risco agregado; o agente averso consome o mesmo em todo estado.

Exemplo – Substituição por Agente Neutro ao Risco

Famílias Amoreira ($u_A=\ln$) e Carvalho ($u_C=x$). $\pi_1=\pi_2=1/2$.

CPO de Carvalho: $\pi_\ell = \lambda p_\ell$ com $\pi_1=\pi_2 \Rightarrow p_1=p_2$.

Com $p_1=p_2$: $w_A = 10p_1$. Demanda de Amoreira: $x_{1A}=x_{2A}=5$ (consumo constante nos estados).

Factibilidade: $x_{1C}=10-5=5$, $x_{2C}=30-5=25$. A família Carvalho arca com toda a variabilidade agregada.

2.4 Equilíbrio de Radner (Mercados Sequenciais)

Definição – Equilíbrio de Radner

Estrutura em dois períodos: em $t=0$ os agentes transacionam ativos financeiros; em $t=1$ o estado $s$ se realiza e os mercados spot abrem. Um equilíbrio de Radner é $(q^*, z^*, p^{s*}, x^{s*})$ tal que:

Cada agente escolhe portfólio $z_i^*$ e consumo $x_i^{s*}$ para maximizar utilidade esperada.
Restrições orçamentárias: em $t=0$: $q\cdot z_i \leq 0$; em cada estado $s$: $p^s \cdot x_i^s \leq p^s\cdot\omega_i^s + \sum_k z_{ik} r_{sk}$.
Market clearing: mercados de ativos ($\sum_i z_i = 0$) e spot ($\sum_i x_i^s = \sum_i\omega_i^s$ ∀$s$).

Teorema da Equivalência AD–Radner

Se a matriz de payoffs $R$ tem posto igual a $S$ (mercados completos), então o conjunto de alocações reais de equilíbrio de Radner coincide com o de Arrow-Debreu.

3.1 Ativos e Matriz de Payoffs

Com $K$ ativos e $S$ estados, o ativo $k$ tem:

Vetor de retornos: $r_k = (r_{1k},\dots,r_{Sk}) \in \mathbb{R}^S$.
Preço de mercado: $q_k \in \mathbb{R}$.

A matriz de payoffs $R$ é $S\times K$, com a coluna $k$ igual a $r_k$. Um portfólio $z=(z_1,\dots,z_K)$ gera o vetor de transferências de renda $Rz$ nos diferentes estados.

Ativos Elementares de Arrow

O ativo $k$ é elementar de Arrow para o estado $s$ se $r_{s'k}=\mathbf{1}[s'=s]$ (paga 1 no estado $s$ e 0 nos demais). Qualquer ativo pode ser decomposto em ativos de Arrow.

3.2 Mercados Completos

Mercados Completos

Os mercados são completos se e somente se $\text{posto}(R) = S$, ou seja, qualquer vetor de transferências em $\mathbb{R}^S$ é atingível por algum portfólio.

Para verificar: calcule $\det(R)$ (com $S=K=2$) ou reduza à forma escalonada. Se as colunas de $R$ são linearmente dependentes, $\text{posto}(R) < S$ e o mercado é incompleto.

Completo vs Incompleto

$R_1 = \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{pmatrix}$: $\det = 2 \neq 0$ → completo.

$R_2 = \begin{pmatrix}2 & 1\\4 & 2\end{pmatrix}$: linha 2 = 2×linha 1 → $\det = 0$ → incompleto (posto 1).

3.3 Precificação por Ausência de Arbitragem

Definição – Arbitragem

Uma carteira $z$ é uma oportunidade de arbitragem se $q\cdot z \leq 0$ (custo nulo ou negativo) e $Rz \geq 0$ com $Rz \neq 0$ (retorno não-negativo em todos os estados, positivo em algum).

Em mercados completos, um novo ativo com retorno $r^{\text{new}}$ pode ser replicado: encontre $\alpha$ tal que $R\alpha = r^{\text{new}}$. O preço de não-arbitragem é $q^{\text{new}} = q\cdot\alpha$.

Algoritmo – Precificação por Replicação

Verifique se $\text{posto}(R)=S$ (mercado completo).
Resolva o sistema linear $R\alpha = r^{\text{new}}$ para $\alpha \in \mathbb{R}^K$.
O preço sem arbitragem é $q^{\text{new}} = \sum_k \alpha_k q_k$.

Exemplo – Opção Call (Prova 2025, Q3)

Ativos: $r_1=(1,0)$, $r_2=(1,2)$, $q_1=1$, $q_2=2$. $S=K=2$.

Derivativo (call sobre ativo 2, strike = 0.5·valor à vista, exercida se valor > 1.5):

Estado 1: valor à vista de $r_2$ é 1 ≤ 1.5 → não exercida → payoff = 0.

Estado 2: valor à vista de $r_2$ é 2 > 1.5 → exercida → compra a $0.5\times 2=1$, recebe payoff 2, lucro = $2-1=1$.

Portanto $r_3=(0,1)$.

Replicação: $\alpha_1(1,0)+\alpha_2(1,2)=(0,1)$:

\[\alpha_1+\alpha_2=0, \quad 2\alpha_2=1 \;\Rightarrow\; \alpha_2=0.5,\; \alpha_1=-0.5.\]

$q_3 = -0.5\times 1 + 0.5\times 2 = \mathbf{0.5}$.

3.4 Mercados Incompletos

Se $\text{posto}(R) < S$, existem estados cujo risco não pode ser transferido. Consequências:

O 1TBE falha no sentido usual (a alocação pode não ser Pareto-ótima sem restrições).
Derivativos cujo retorno está fora do espaço de colunas de $R$ não podem ser precificados por não-arbitragem (preço indeterminado).
Pode-se falar em Ótimo de Pareto Restrito (second-best): eficiência dentro do espaço de alocações atingíveis.

Mercado Incompleto – Não Há Precificação

Se $r_1=(2,4)$ e $r_2=(1,2)$: $r_2=(1/2)r_1$, logo $\text{posto}(R)=1 < 2$. O ativo $r_3=(0,1)$ não pertence ao espaço coluna de $R$ (que só contém múltiplos de $(2,4)$), portanto não há portfólio replicante e o preço não pode ser determinado por arbitragem.

4. Equação de Euler – Horizonte Infinito

Considere o problema de um consumidor em horizonte infinito com tecnologia $F(k)=Ak$:

$$\max_{k\geq 0} \sum_{t=0}^\infty \delta^t \ln c_t \quad \text{s.a.} \quad c_t = Ak_{t-1} - k_t, \quad k_0 \text{ dado.}$$

Derivação

Substituindo a restrição na função objetivo:

$$\max_{k} \sum_{t=0}^\infty \delta^t \ln(Ak_{t-1} - k_t).$$

CPO em relação a $k_t$ (afeta o período $t$ como investimento e o período $t+1$ como capital):

$$\delta^t \cdot \frac{-1}{Ak_{t-1}-k_t} + \delta^{t+1}\cdot\frac{A}{Ak_t - k_{t+1}} = 0.$$

Equação de Euler – Duas Formas Equivalentes

Em capital: \[k_{t+1} = (1+\delta)Ak_t - \delta A^2 k_{t-1}\]

Em consumo: \[\underbrace{u'(c_t)}_{\text{custo marginal de poupar}} = \delta \underbrace{F'(k_t)}_A \underbrace{u'(c_{t+1})}_{\text{benefício marginal}} \;\Rightarrow\; \frac{1}{c_t} = \frac{\delta A}{c_{t+1}} \;\Rightarrow\; \boxed{c_{t+1} = \delta A \, c_t}\]

Interpretação: o consumidor poupa até que o custo de abrir mão de uma unidade hoje ($u'(c_t)$) iguale o retorno amanhã ($\delta A$) multiplicado pelo benefício de consumir amanhã ($u'(c_{t+1})$). O consumo cresce à taxa $\delta A - 1$ — se $\delta A > 1$, a economia cresce; se $\delta A < 1$, decresce.

5.1 Prova Formal da Lei de Walras

Prova

Seja $x_i(p)$ a demanda do consumidor $i$. Sob LNS, a restrição orçamentária é satisfeita com igualdade: $p\cdot x_i(p) = p\cdot\omega_i$ para todo $i$ e todo $p$.

Somando sobre todos os $I$ consumidores:

\[\sum_{i=1}^I p\cdot x_i(p) = \sum_{i=1}^I p\cdot\omega_i\] \[p\cdot\sum_i x_i(p) = p\cdot\bar\omega\] \[p\cdot\!\left(\sum_i x_i(p) - \bar\omega\right) = 0\] \[\sum_{\ell=1}^L p_\ell\!\left(\sum_i x_{\ell i}(p) - \bar\omega_\ell\right) = 0. \quad\square\]

Aplicação: Se o mercado do bem 1 equilibra ($\sum_i x_{1i}(p^*)=\bar\omega_1$) e $p^*\gg 0$, então $p_2^*(\sum_i x_{2i}(p^*)-\bar\omega_2)=0$ e como $p_2^*>0$, concluímos $\sum_i x_{2i}(p^*)=\bar\omega_2$.

5.2 Prova Detalhada do 1º Teorema do Bem-Estar

(Já apresentada na Seção 1.5 com formato de passos. Abaixo, a versão mais compacta para uso em prova.)

Prova Compacta (Para Uso em Avaliação)

Seja $(p^*,x^*)$ WE. Suponha, por contradição, que $\exists$ alocação factível $x'$ com $x'_i \succcurlyeq_i x_i^*$ para todo $i$ e $x'_{i_0}\succ_{i_0} x_{i_0}^*$ para algum $i_0$.

Otimalidade de $x_{i_0}^*$: $x'_{i_0}\succ_{i_0}x_{i_0}^* \Rightarrow x'_{i_0} \notin B_{i_0}(p^*) \Rightarrow p^*\cdot x'_{i_0} > p^*\cdot\omega_{i_0}$.
Para $i\neq i_0$: $x'_i\succcurlyeq_i x_i^*$. Suponha $p^*\cdot x'_i < p^*\cdot\omega_i$. Por LNS, $\exists\, x''$ próximo de $x'_i$ com $x''\succ x'_i$ ainda dentro do orçamento, contradizendo $x_i^*$ ser ótimo. Logo $p^*\cdot x'_i \geq p^*\cdot\omega_i$.
Somando: $p^*\cdot\sum_i x'_i > p^*\cdot\bar\omega$. Porém $x'$ factível e $p^*\geq 0$ implica $p^*\cdot\sum_i x'_i \leq p^*\cdot\bar\omega$. Contradição. $\square$

5.3 Eficiência Fraca e Condição de Transversalidade

Eficiência Fraca de Trajetórias de Produção

Uma trajetória $y=(y_0,y_1,\dots)$ é fracamente eficiente se não existe $y'=(y'_0,y'_1,\dots)$ tal que $y_{a,t-1}+y_{bt} \ll y'_{a,t-1}+y'_{bt}$ para todo $t$ (onde $a\ll b$ significa $a_\ell < b_\ell$ para todo $\ell$).

Prova: Transversalidade implica Eficiência Fraca

Seja $y$ que maximiza lucros a curto prazo para preços $p\geq 0$ (com algum $p_t\neq 0$) e satisfaz $p_{T+1}\cdot y_{aT}\to 0$ quando $T\to\infty$.

Suponha $y'$ com $y_{a,t-1}+y_{bt} \ll y'_{a,t-1}+y'_{bt}$ para todo $t$. Como $p_t\geq 0$ com algum termo não nulo, isso implica $p_t\cdot(y'_{a,t-1}+y'_{bt}) > p_t\cdot(y_{a,t-1}+y_{bt})$.

Da maximização de lucros a curto prazo em $t$: $p_t\cdot y_{bt} - p_{t+1}\cdot y_{at} \geq p_t\cdot y'_{bt} - p_{t+1}\cdot y'_{at}$, logo $p_{t+1}\cdot(y'_{at}-y_{at}) \geq p_t\cdot(y'_{bt}-y_{bt}) > 0$ (pela hipótese de dominância estrita).

Telescopando de $t=0$ a $T$: $p_{T+1}\cdot y'_{aT} - p_{T+1}\cdot y_{aT} \geq \varepsilon > 0$ para algum $\varepsilon$ uniforme. Mas $p_{T+1}\cdot y_{aT}\to 0$ (transversalidade) implica $p_{T+1}\cdot y'_{aT} \geq \varepsilon > 0$ para todo $T$, contradizendo que $y'$ é uma trajetória de produção factível com preços que convergem. $\square$

Simulado – Questões no Estilo da Avaliação

Tente resolver cada item antes de expandir o gabarito.

Trocas Puras com Cobb-Douglas e Leontief Generalizado

Equilíbrio walrasiano, demandas, factibilidade, soluções de canto

[2,5 pts]

Carlos e Daniela habitam uma economia de trocas puras com dois bens. Suas preferências e dotações são:

Carlos: $u_C(x_1,x_2) = x_1^{1/3}x_2^{2/3}$, $\omega_C = (6,\,0)$.
Daniela: $u_D(x_1,x_2) = \min\{x_1,\,2x_2\}$, $\omega_D = (0,\,9)$.

(a) Encontre a demanda marshalliana de Carlos condicionalmente a preços $p_1,p_2>0$. [0,5 pt]

Gabarito (a)

Calcular a renda — Carlos detém dotação apenas no bem 1: $w_C = p_1\omega_{1C} = 6p_1$.
Descartar solução de canto — Cobb-Douglas tem $u_C(0,\cdot)=u_C(\cdot,0)=0$, enquanto qualquer ponto interior gera utilidade positiva. Com $p\gg0$ a solução é sempre interior.
Aplicar fórmula Cobb-Douglas — Com $\alpha=1/3$, $\beta=2/3$: \[x_{1C}=\frac{1/3}{1}\cdot\frac{6p_1}{p_1}=2,\qquad x_{2C}=\frac{2/3}{1}\cdot\frac{6p_1}{p_2}=\frac{4p_1}{p_2}.\] $x_{1C}=2$ é constante pois $w_C\propto p_1$ cancela $p_1$ no denominador.

(b) Encontre a demanda de Daniela. Note que $u_D = \min\{x_1, 2x_2\}$ — o kink ocorre em $x_1 = 2x_2$, não em $x_1=x_2$. [0,5 pt]

Gabarito (b)

Identificar condição do kink — $u_D=\min\{x_1,2x_2\}$ é maximizada em $x_1=2x_2$: consumir além desse ponto em qualquer bem não eleva utilidade.
Calcular a renda — $w_D = p_2\omega_{2D} = 9p_2$.
Substituir kink na restrição orçamentária — Com $x_1=2x_2$: \[2p_1 x_{2D}+p_2 x_{2D}=9p_2\;\Rightarrow\; x_{2D}=\frac{9p_2}{2p_1+p_2},\quad x_{1D}=\frac{18p_2}{2p_1+p_2}.\]

(c) Defina o que é um equilíbrio walrasiano nesta economia e encontre-o. [0,75 pt]

Gabarito (c)

Definição formal — Par $(p^*,x^*)$ tal que (i) cada agente maximiza utilidade dado seu orçamento e (ii) mercados equilibram: $x_{1C}+x_{1D}=6$ e $x_{2C}+x_{2D}=9$.
Impor market clearing no bem 1 — \[2+\frac{18p_2}{2p_1+p_2}=6\;\Rightarrow\;\frac{18p_2}{2p_1+p_2}=4.\]
Resolver o preço relativo — $18p_2=8p_1+4p_2\;\Rightarrow\;14p_2=8p_1\;\Rightarrow\;\dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{7}{4}$.
Completar a alocação — \[x_{1D}=\frac{18}{2(7/4)+1}=\frac{18}{9/2}=4,\quad x_{2D}=2,\quad x_{2C}=4\cdot\frac{7}{4}=7.\]
Verificar pelo segundo mercado — $x_{2C}+x_{2D}=7+2=9$ ✓ (Lei de Walras). Equilíbrio: $p^*=\!\bigl(\tfrac{7p_2}{4},p_2\bigr)$, $x_C^*=(2,7)$, $x_D^*=(4,2)$.

(d) Esta economia admite algum equilíbrio com solução de canto? Justifique sistematicamente. [0,75 pt]

Gabarito (d)

Listar casos de preços-limite — Com $L=2$ bens, analisar: $(p_1,p_2>0)$, $(p_1=0,p_2>0)$, $(p_1>0,p_2=0)$ e $(p_1=p_2=0)$.
Caso $p_1=0,\,p_2>0$ — Carlos tem $w_C=0$. Daniela tem $w_D=9p_2>0$: ao preço nulo do bem 1, $x_{1D}\to\infty$, violando factibilidade. Impossível.
Caso $p_1>0,\,p_2=0$ — Daniela tem $w_D=0$. Carlos tem $x_{2C}=4p_1/p_2\to\infty$. Viola factibilidade. Impossível.
Caso $p_1=p_2=0$ — Ambos com renda zero. Carlos indiferente em $(0,0)$; Daniela indiferente em $(0,x_{2D})$. Alocação $x_C=(6,9)$, $x_D=(0,0)$ é factível. Único equilíbrio de canto.

Arrow-Debreu com Probabilidades Assimétricas

Definição AD, demanda com log, risk-sharing, comparação de equilíbrios

[2,5 pts]

As famílias Esperança e Fortuna vivem em uma economia com um bem e dois estados da natureza. O estado 1 ocorre com probabilidade $\pi_1=1/3$ e o estado 2 com $\pi_2=2/3$. As dotações são:

Esperança: $\omega_E=(12,\,0)$. Fortuna: $\omega_F=(0,\,6)$.

Ambas têm utilidade de Bernoulli $u_i(x)=\ln x$.

(a) Defina formalmente o equilíbrio de Arrow-Debreu nesta economia. [0,5 pt]

Gabarito (a)

Um equilíbrio AD é um par $(p^*,x^*)$ com $p^*=(p_1^*,p_2^*)$ (preços contingentes) e $x^*=((x_{1E},x_{2E}),(x_{1F},x_{2F}))$ tal que:

Cada família $i\in\{E,F\}$ resolve: \[\max_{x_{1i},x_{2i}\geq 0} \frac{1}{3}\ln x_{1i}+\frac{2}{3}\ln x_{2i} \quad\text{s.a.}\quad p_1 x_{1i}+p_2 x_{2i} \leq p_1\omega_{1i}+p_2\omega_{2i}.\]
Factibilidade: $x_{1E}+x_{1F}=12$ e $x_{2E}+x_{2F}=6$.

(b) Encontre o equilíbrio de Arrow-Debreu. [0,5 pt]

Gabarito (b)

Calcular riquezas — $w_E=p_1\omega_{1E}=12p_1$ e $w_F=p_2\omega_{2F}=6p_2$.
Aplicar fórmula de demanda (log) — Para $u_i=\ln$, $x_{si}=\pi_s w_i/p_s$: \[x_{1E}=\frac{(1/3)\cdot12p_1}{p_1}=4,\quad x_{2E}=\frac{(2/3)\cdot12p_1}{p_2}=\frac{8p_1}{p_2},\] \[x_{1F}=\frac{(1/3)\cdot6p_2}{p_1}=\frac{2p_2}{p_1},\quad x_{2F}=\frac{(2/3)\cdot6p_2}{p_2}=4.\]
Impor market clearing (estado 1) — \[4+\frac{2p_2}{p_1}=12\;\Rightarrow\;\frac{p_1}{p_2}=\frac{1}{4}.\]
Completar e verificar estado 2 — $x_{2E}=8\cdot(1/4)=2$, $x_{2F}=4$, soma $=6$ ✓. Equilíbrio: $p^*=(p_2/4,\,p_2)$, $x_E^*=(4,2)$, $x_F^*=(8,4)$.

(c) O equilíbrio é simétrico? O que explica o padrão de consumo encontrado? [0,5 pt]

Gabarito (c)

Verificar simetria — $x_E^*=(4,2)\neq x_F^*=(8,4)$: equilíbrio não é simétrico. Fortuna consome o dobro de Esperança em cada estado.
Calcular riquezas com o preço encontrado — Normalizando $p_2=1$: $w_E=12\cdot(1/4)=3$ e $w_F=6\cdot1=6$. Razão $w_F/w_E=2$.
Interpretar via aversão ao risco idêntica — Com $u_i=\ln$ (mesma curvatura), agentes avessos consomem em proporção às riquezas em todos os estados: $x_F/x_E=w_F/w_E=2$. A razão $x_{2i}/x_{1i}=1/2$ reflete apenas a escassez relativa da dotação agregada (6 vs 12), via preços.

(d) Suponha que Fortuna é substituída pela família Glória, com utilidade de Bernoulli $u_G(x)=x$ (neutra ao risco) e a mesma dotação $\omega_G=(0,6)$. Encontre o novo equilíbrio de Arrow-Debreu. [0,5 pt]

Gabarito (d)

CPO do agente neutro ao risco — Para $u_G(x)=x$ (linear): $\pi_s=\lambda p_s$, logo \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{\pi_1}{\pi_2}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}.\] Preços contingentes ficam proporcionais às probabilidades.
Demanda de Esperança com o novo preço — Normalizando $p_2=1$: $w_E=12\cdot(1/2)=6$. \[x_{1E}=\frac{(1/3)\cdot6}{1/2}=4,\quad x_{2E}=\frac{(2/3)\cdot6}{1}=4.\] Consumo constante: seguro completo provido por Glória.
Factibilidade para Glória — $x_{1G}=12-4=8$ e $x_{2G}=6-4=2$.
Verificar orçamento de Glória — $w_G=6$, gasto $=(1/2)\cdot8+1\cdot2=4+2=6$ ✓. Equilíbrio: $p^*=(p_2/2,\,p_2)$, $x_E^*=(4,4)$, $x_G^*=(8,2)$.

(e) Compare os dois equilíbrios (itens b e d) em termos de compartilhamento de risco. [0,5 pt]

Gabarito (e)

Equilíbrio com dois avessos (item b) — Ambas compartilham o risco proporcionalmente à riqueza; nenhuma tem consumo constante: $x_E=(4,2)$ e $x_F=(8,4)$ variam entre estados, refletindo a variabilidade da dotação total.
Equilíbrio com agente neutro (item d) — Glória absorve todo o risco agregado. Esperança obtém consumo constante $x_E=(4,4)$ — seguro perfeito. Glória assume $x_G=(8,2)$, arcando com toda a variabilidade.
Mecanismo subjacente — O agente neutro é indiferente ao risco (utilidade linear), provendo seguro sem custo de bem-estar esperado. Isso força $p_s\propto\pi_s$, tornando o consumo de Esperança constante entre os estados.

Mercados de Ativos e Precificação por Arbitragem

Completude de mercado, derivativos, arbitragem, mercados incompletos

[2 pts]

Considere uma economia com $S=2$ estados e $K=2$ ativos com retornos e preços: \[r_1=(1,2), \quad r_2=(2,1), \quad q_1=1, \quad q_2=1.\]

(a) Verifique se o mercado é completo. [0,25 pt]

Gabarito (a)

Construir a matriz de payoffs — Linhas = estados, colunas = ativos: $R=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$.
Calcular determinante e concluir — $\det(R)=1-4=-3\neq0$. Logo $\text{posto}(R)=2=S$: mercado completo.

(b) Uma instituição quer lançar um derivativo com retorno $r_3=(3,0)$. As condições são suficientes para precificar este ativo? Se sim, calcule $q_3$. [0,75 pt]

Gabarito (b)

Confirmar precificação possível — Mercado completo ($\text{posto}=S=2$): qualquer $r_3\in\mathbb{R}^2$ é replicável. Sim.
Montar sistema de replicação — Encontre $(\alpha_1,\alpha_2)$ com $\alpha_1 r_1+\alpha_2 r_2=r_3$: \[\begin{cases}\alpha_1+2\alpha_2=3\\2\alpha_1+\alpha_2=0\end{cases}\]
Resolver o sistema — Da segunda: $\alpha_1=-\alpha_2/2$. Substituindo: $3\alpha_2/2=3\Rightarrow\alpha_2=2$, $\alpha_1=-1$.
Calcular preço por não-arbitragem — $q_3=(-1)\cdot1+2\cdot1=\mathbf{1}$.

(c) Suponha agora que $r_1=(2,4)$, mantendo $r_2$, $q_1$ e $q_2$. O mercado ainda é completo? É possível precificar $r_3=(3,0)$? Justifique. [0,5 pt]

Gabarito (c)

Recalcular completude — $R'=\begin{pmatrix}2&2\\4&1\end{pmatrix}$. $\det(R')=2-8=-6\neq0$. Mercado ainda completo.
Novo sistema de replicação — \[\begin{cases}2\alpha_1+2\alpha_2=3\\4\alpha_1+\alpha_2=0\end{cases}\;\Rightarrow\;\alpha_2=-4\alpha_1,\;2\alpha_1-8\alpha_1=3\;\Rightarrow\;\alpha_1=-\tfrac{1}{2},\;\alpha_2=2.\]
Calcular preço — $q_3=(-\tfrac{1}{2})\cdot1+2\cdot1=\mathbf{3/2}$.

(d) Considere uma terceira variação: $r_1=(1,2)$ e $r_2=(2,4)$ (voltando ao original, mas trocando $r_2$). O mercado é completo? Pode-se precificar $r_3=(3,0)$? [0,5 pt]

Gabarito (d)

Construir R'' e verificar det — $R''=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$. $\det(R'')=4-4=0$. Mercado incompleto.
Identificar dependência linear — $r_2=2r_1$: colunas proporcionais, \(\text{posto}(R'')=1
Verificar se $r_3$ é replicável — $r_3=(3,0)$ exigiria $c=3$ (estado 1) e $c=0$ (estado 2) simultaneamente. Contradição: $(3,0)\notin\text{col}(R'')$.
Concluir — Preço indeterminado por não-arbitragem: mercado incompleto não gera preço único para ativos fora do espaço de replicação.

Equilíbrio de Radner com Ativos de Arrow

Estrutura sequencial t=0/t=1, equivalência AD–Radner, portfólios ótimos

[2,5 pts]

As famílias Henrique (H) e Isabela (I) habitam uma economia com um bem físico ($L=1$), dois estados da natureza ($S=2$), probabilidades $\pi_1=1/3$ e $\pi_2=2/3$, e utilidade de Bernoulli $u_i(x)=\ln x$. As dotações são $\omega_H=(6,\,0)$ e $\omega_I=(0,\,6)$. Em $t=0$ transacionam dois ativos:

Ativo 1 – elementar de Arrow para o estado 1: $r_1=(1,\,0)$, preço $q_1$.
Ativo 2 – elementar de Arrow para o estado 2: $r_2=(0,\,1)$, preço $q_2$.

Em $t=1$, após a realização do estado, os mercados spot abrem com preço normalizado $p^s=1$ em cada estado.

(a) Defina formalmente o equilíbrio de Radner nesta economia. [0,5 pt]

Gabarito (a)

Um equilíbrio de Radner é uma tupla $(q^*,z^*,p^{1*},p^{2*},x^*)$ tal que:

Cada família $i\in\{H,I\}$ maximiza $\tfrac{1}{3}\ln x_{1i}+\tfrac{2}{3}\ln x_{2i}$ sujeita a:
- t=0 (mercado de ativos): $q_1 z_{i1}+q_2 z_{i2} \leq 0$.
- t=1, estado s (mercado spot): $p^s x_{si} \leq p^s\omega_{si}+z_{i1}r_{s1}+z_{i2}r_{s2}$.
Mercados se equilibram: ativos $\sum_i z_{ik}=0$ para $k=1,2$; spot $\sum_i x_{si}=\sum_i\omega_{si}$ para $s=1,2$.

A diferença essencial frente ao AD: há duas datas e restrições orçamentárias separadas por estado, em vez de uma única restrição global com preços contingentes.

(b) Mostre que o mercado é completo e, usando o equilíbrio Arrow-Debreu desta economia, determine $q_1$ e $q_2$. [0,5 pt]

Gabarito (b)

Verificar completude — $R=I_2$. $\det(R)=1\neq0$, $\text{posto}(R)=2=S$. ✓
Resolver o equilíbrio AD — Com fórmula $x_{si}=\pi_s w_i/p_s^{AD}$: $x_{1H}=2$, $x_{2H}=4p_1^{AD}/p_2^{AD}$, $x_{1I}=2p_2^{AD}/p_1^{AD}$, $x_{2I}=4$. Market clearing: $2+2p_2^{AD}/p_1^{AD}=6\Rightarrow p_1^{AD}/p_2^{AD}=1/2$. Com $p_2^{AD}=1$: $p^{AD}=(1/2,1)$, $x_H=(2,2)$, $x_I=(4,4)$.
Extrair preços de Radner — Com ativos elementares e $p^s=1$: $q_s=p_s^{AD}/p^s=p_s^{AD}$. Normalizando $q_2=2$: $q_1=1$, $q_2=2$.

(c) Encontre os portfólios ótimos $z_H$ e $z_I$. Verifique clearing de ativos e orçamentos em $t=0$. [0,75 pt]

Gabarito (c)

Simplificar restrição de estado — Com $p^s=1$ e ativos de Arrow ($r_{ss}=1$, $r_{ss'}=0$): a restrição de estado $s$ dá $x_{si}=\omega_{si}+z_{is}$, logo $z_{is}=x_{si}-\omega_{si}$.
Portfólio de Henrique — $z_{H1}=2-6=-4$, $z_{H2}=2-0=+2$. Orçamento $t=0$: $1(-4)+2(+2)=0$ ✓
Portfólio de Isabela — $z_{I1}=4-0=+4$, $z_{I2}=4-6=-2$. Orçamento $t=0$: $1(4)+2(-2)=0$ ✓
Verificar clearing de ativos — $z_{H1}+z_{I1}=0$ ✓; $z_{H2}+z_{I2}=0$ ✓. Henrique vende Arrow-1 (estado da dotação) e compra Arrow-2; Isabela faz o espelho.

(d) Enuncie o Teorema da Equivalência AD–Radner e verifique-o explicitamente. [0,75 pt]

Gabarito (d)

Enunciar o teorema — Se $\text{posto}(R)=S$, o conjunto de alocações reais de equilíbrio de Radner coincide com o de Arrow-Debreu.
Calcular alocação induzida pelos portfólios — \[x_{1H}=6+(-4)=2,\quad x_{2H}=0+2=2\;\Rightarrow\;x_H=(2,2).\] \[x_{1I}=0+4=4,\quad x_{2I}=6-2=4\;\Rightarrow\;x_I=(4,4).\]
Confirmar igualdade com AD — Coincide exatamente com a alocação AD do item (b). $\square$

Radner com Ativos Genéricos: Bônus e Ativo de Risco

Preços de Arrow implícitos, portfólios com ativos não-elementares, redundância

[2,5 pts]

Considere a mesma economia da Questão 4 (H e I, $\pi_1=1/3$, $\pi_2=2/3$, $u_i=\ln$, $\omega_H=(6,0)$, $\omega_I=(0,6)$), mas agora com dois ativos financeiros distintos:

Ativo 1 (bônus, paga 1 em qualquer estado): $r_1=(1,\,1)$, preço $q_1$.
Ativo 2 (ativo de risco): $r_2=(0,\,2)$, preço $q_2$.

(a) O mercado é completo? Expresse os preços de Arrow implícitos $(\psi_1,\psi_2)$ em função de $q_1$ e $q_2$. [0,5 pt]

Gabarito (a)

Construir R e verificar det — $R=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}$. $\det(R)=2\neq0$. Mercado completo.
Montar sistema $R^\top\psi=q$ — \[\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q_1\\q_2\end{pmatrix}.\]
Resolver para $\psi$ — Da segunda linha: $\psi_2=q_2/2$. Da primeira: $\psi_1=q_1-q_2/2$.

(b) Usando os preços Arrow-Debreu da Questão 4, determine $q_1$ e $q_2$. [0,5 pt]

Gabarito (b)

Extrair $\psi$ do equilíbrio AD — De Q4: $p^{AD}=(1/2,1)$ e $p^s=1$, logo $\psi_s=p_s^{AD}$: $\psi_1=1/2$, $\psi_2=1$.
Calcular $q_k=\sum_s\psi_s r_{sk}$ — \[q_1=\tfrac{1}{2}\cdot1+1\cdot1=\tfrac{3}{2},\quad q_2=\tfrac{1}{2}\cdot0+1\cdot2=2.\]
Verificação cruzada — $\psi_2=q_2/2=1$ ✓; $\psi_1=q_1-q_2/2=3/2-1=1/2$ ✓.

(c) Encontre os portfólios ótimos $z_H$ e $z_I$. Verifique clearing e orçamentos. Compare com a Questão 4. [0,75 pt]

Gabarito (c)

Identificar alocação-alvo — Pelo Teorema da Equivalência, a alocação real é a mesma do AD: $x_H=(2,2)$, $x_I=(4,4)$.
Sistema $Rz_H=x_H-\omega_H$ — \[\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_{H1}\\z_{H2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;z_{H1}=-4,\;z_{H2}=3.\] Orçamento: $\tfrac{3}{2}(-4)+2(3)=0$ ✓
Sistema $Rz_I=x_I-\omega_I$ — \[\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_{I1}\\z_{I2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;z_{I1}=4,\;z_{I2}=-3.\] Orçamento: $\tfrac{3}{2}(4)+2(-3)=0$ ✓
Verificar clearing e comparar com Q4 — $z_{H1}+z_{I1}=0$ ✓; $z_{H2}+z_{I2}=0$ ✓. Alocação idêntica à Q4; portfólios diferem: $z_{H2}=3$ aqui vs $z_{H2}=2$ em Arrow. Mercados completos distintos produzem a mesma alocação real.

(d) Uma instituição propõe emitir $r_3=(1,\,3)$. Esse ativo é redundante? Se sim, calcule $q_3$ por ausência de arbitragem e descreva a estratégia de arbitragem caso o preço seja $q_3=4$. [0,75 pt]

Gabarito (d)

Testar replicação (sistema linear) — $\alpha_1(1,1)+\alpha_2(0,2)=(1,3)\Rightarrow\alpha_1=1,\;1+2\alpha_2=3\Rightarrow\alpha_2=1$. Solução existe: $r_3=r_1+r_2$. Ativo redundante.
Calcular $q_3$ por não-arbitragem — $q_3=1\cdot q_1+1\cdot q_2=\tfrac{3}{2}+2=\tfrac{7}{2}$. Via Arrow: $\psi_1\cdot1+\psi_2\cdot3=\tfrac{1}{2}+3=\tfrac{7}{2}$ ✓.
Estratégia de arbitragem se $q_3=4$ — Ativo 3 sobrepreçado ($4>7/2$). Venda 1 unidade de $r_3$, receba 4; compre a carteira $(r_1+r_2)$ pagando $7/2$. Lucro imediato $1/2$, payoff nulo em ambos os estados. Arbitragem pura sem risco.

Questões Extras – Das Listas de Exercícios

Questões selecionadas das listas de MWG e exercícios adicionais (A.4, A.6, A.7). Nível e estilo idênticos ao simulado.

Opções com Três Estados e Preços de Arrow (A.4)

Completude com S=3, precificação por arbitragem e via multiplicadores, replicação de portfólio

[3 pts]

Considere uma economia com $S=3$ estados $\{A,B,C\}$ e $K=3$ ativos com retornos e preços:

$$r_1=(1,0,0),\quad r_2=(0,1,0),\quad r_3=(1,2,3),\quad q_1=1,\quad q_2=1,\quad q_3=5.$$

Uma instituição oferece uma opção de compra $r_4$ sobre o ativo 3, com preço de exercício $c=2$, exercível após a revelação do estado e antes do pagamento dos retornos.

(a) Escreva o vetor de retornos $r_4$. [0,5 pt]

Gabarito (a)

Identificar a condição de exercício — A opção é exercida quando o valor do ativo 3 supera o preço de exercício $c=2$: payoff = $\max\{r_{3s}-c,\,0\}$.
Calcular payoff estado a estado —
- Estado A: $r_{3A}=1 < 2$ → não exerce → payoff $=0$.
- Estado B: $r_{3B}=2 = 2$ → indiferente → payoff $=0$.
- Estado C: $r_{3C}=3 > 2$ → exerce → payoff $=3-2=1$.
Resultado — $r_4=(0,\,0,\,1)$.

(b) O mercado é completo? Se sim, calcule $q_4$ por arbitragem. [1 pt]

Gabarito (b)

Construir R e verificar completude — $R=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\\0&0&3\end{pmatrix}$. Triangular superior com diagonal não-nula: $\det(R)=1\cdot1\cdot3=3\neq0$. Logo $\text{posto}(R)=3=S$. Mercado completo.
Montar sistema de replicação $\alpha_1 r_1+\alpha_2 r_2+\alpha_3 r_3=r_4$ — \[\begin{cases} \alpha_1+\alpha_3=0 & \text{(estado A)}\\ \alpha_2+2\alpha_3=0 & \text{(estado B)}\\ 3\alpha_3=1 & \text{(estado C)} \end{cases}\]
Resolver de baixo para cima — Estado C: $\alpha_3=1/3$. Estado B: $\alpha_2=-2/3$. Estado A: $\alpha_1=-1/3$.
Calcular $q_4$ por não-arbitragem — \[q_4=\alpha_1 q_1+\alpha_2 q_2+\alpha_3 q_3=\left(-\tfrac{1}{3}\right)\cdot1+\left(-\tfrac{2}{3}\right)\cdot1+\tfrac{1}{3}\cdot5=\frac{-1-2+5}{3}=\frac{2}{3}.\]

(c) Calcule $q_4$ via preços de Arrow (multiplicadores $\mu_s$). Verifique a consistência. [0,5 pt]

Gabarito (c)

Montar sistema $R^\top\mu=q$ — \[\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mu_A\\\mu_B\\\mu_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\mu_A=1,\;\mu_B=1,\;1+2+3\mu_C=5\;\Rightarrow\;\mu_C=\tfrac{2}{3}.\]
Precificar $r_4$ via $\mu$ — \[q_4=\mu_A\cdot0+\mu_B\cdot0+\mu_C\cdot1=\frac{2}{3}\;\checkmark\]
Interpretar — $\mu_A=\mu_B=1>\mu_C=2/3$: a riqueza é mais valiosa nos estados A e B (onde os recursos são mais escassos) do que no estado C, onde o ativo 3 paga 3 unidades, tornando-o relativamente abundante.

(d) Encontre a carteira $z=(z_1,z_2,z_3,0)$ que replica $z_4=30$ unidades de $r_4$. Quantas unidades de cada ativo são compradas ou vendidas? [0,5 pt]

Gabarito (d)

Escalar a meta — A carteira deve replicar $30\cdot r_4=(0,0,30)$.
Resolver $Rz=30r_4$ — \[\begin{cases}z_1+z_3=0\\z_2+2z_3=0\\3z_3=30\end{cases}\;\Rightarrow\;z_3=10,\;z_1=-10,\;z_2=-20.\]
Descrever as operações —
- $z_1=-10$: vende 10 unidades do ativo 1 (ativo de Arrow estado A).
- $z_2=-20$: vende 20 unidades do ativo 2 (ativo de Arrow estado B).
- $z_3=+10$: compra 10 unidades do ativo 3.
Custo: $-10\cdot1-20\cdot1+10\cdot5=0$. Carteira de custo zero com payoff $(0,0,30)$ ✓.

Utilidade Exponencial (CARA) e Agente Neutro ao Risco (A.6)

CPO com u(x)=−e^−x, seguro completo, sensibilidade ao nível de dotação

[2,5 pts]

Considere uma economia de trocas com dois agentes A e B, um bem físico, dois estados ($S=2$) e probabilidades $\pi_1=1/3$, $\pi_2=2/3$. As utilidades de Bernoulli são:

Agente A (averso ao risco CARA): $u_A(x)=-e^{-x}$.
Agente B (neutro ao risco): $u_B(x)=x$.

Normalização de preços: $p_1+p_2=1$. Encontre o equilíbrio Arrow-Debreu para os dois casos de dotação e interprete.

Caso (a): $\omega_A=(99,0)$, $\omega_B=(0,99)$.
Caso (b): $\omega_A=(33,0)$, $\omega_B=(0,66)$.

(a) Determine os preços de equilíbrio $(p_1,p_2)$ e a alocação para o Caso (a). [1 pt]

Gabarito (a)

CPO de B (neutro) → preços — Para $u_B(x)=x$, a lagrangiana dá $\pi_s=\lambda_B p_s$ para cada $s$. Logo: \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{\pi_1}{\pi_2}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}.\] Com normalização $p_1+p_2=1$: $\boxed{p_1=1/3,\;p_2=2/3}$.
CPO de A (CARA) → seguro completo — $u_A'(x)=e^{-x}$. A CPO dá: \[\pi_s e^{-x_{sA}}=\lambda_A p_s\;\Rightarrow\; e^{-x_{sA}}=\lambda_A\frac{p_s}{\pi_s}.\] Como $p_s/\pi_s = 1/\lambda_B$ (constante em $s$), $e^{-x_{sA}}$ é constante em $s$. Logo $x_{1A}=x_{2A}\equiv c_A$: agente A obtém consumo constante em ambos os estados.
Determinar $c_A$ pelo orçamento — Renda: $w_A=p_1\cdot99=(1/3)\cdot99=33$. Com $x_{1A}=x_{2A}=c_A$ e $p_1+p_2=1$: \[p_1 c_A+p_2 c_A=c_A(p_1+p_2)=c_A=w_A=33.\]
Factibilidade para B — Dotação total: 99 em cada estado. \[x_{1B}=99-33=66,\quad x_{2B}=99-33=66.\] B também tem consumo constante (pois a dotação agregada é idêntica nos dois estados).
Resultado — $p^*=(1/3,\,2/3)$, $x_A^*=(33,33)$, $x_B^*=(66,66)$. Razão $x_B/x_A=2$ em cada estado, proporcional à relação de riquezas ($w_B/w_A=66/33=2$).

(b) Repita para o Caso (b) e compare as alocações. [1 pt]

Gabarito (b)

Preços — Os preços não dependem das dotações (derivam apenas da CPO de B): $p_1=1/3$, $p_2=2/3$ (idem ao Caso a).
Consumo constante de A — $w_A=p_1\cdot33=(1/3)\cdot33=11$. Logo $c_A=11$.
Factibilidade para B — Dotação total: 33 no estado 1 e 66 no estado 2. \[x_{1B}=33-11=22,\quad x_{2B}=66-11=55.\] B agora tem consumo variável: absorve toda a variabilidade agregada da economia.
Resultado — $p^*=(1/3,\,2/3)$, $x_A^*=(11,11)$, $x_B^*=(22,55)$.

(c) Interprete os dois resultados: por que A tem sempre consumo constante? Por que B absorve todo o risco no Caso (b) mas não no Caso (a)? [0,5 pt]

Gabarito (c)

Por que A tem consumo constante (seguro perfeito) — A tem utilidade CARA ($u_A=-e^{-x}$), com aversão absoluta ao risco $=1$ (constante). O agente B é neutro ao risco, portanto provê seguro completo a qualquer preço actuarialmente justo. Como $p_s/\pi_s$ é constante (consequência da CPO de B), o custo de transferir riqueza entre estados é proporcional às probabilidades, e A prefere não ter variabilidade: obtém seguro perfeito sem custo extra de bem-estar para B.
Por que B não tem consumo constante no Caso (b) — No Caso (a), a dotação agregada é $99+99=99$ em ambos os estados: sem risco agregado, B também termina com consumo constante. No Caso (b), a dotação agregada é $33$ no estado 1 e $66$ no estado 2: há risco agregado real, e como A está completamente segurado, B absorve toda a variação ($22$ vs $55$). Um agente neutro ao risco é o segurador natural de última instância.

Bens Públicos sob Incerteza e Valor do Seguro (A.7)

DAP por bem público sem e com mercados completos, crowding-out do seguro privado

[3 pts]

Dois agricultores, A e B, são separados por uma montanha. Há 50% de chance de enchente. Os colhimentos são:

Estado 1 (enchente, $\pi_1=1/2$): A colhe 5, B colhe 10.
Estado 2 (sem enchente, $\pi_2=1/2$): A colhe 10, B colhe 10.

Ambos têm $u_i(x)=\ln x$. Uma obra de contenção eliminaria a enchente nos dois lados, fazendo A colher 10 em qualquer estado. O custo da obra é $P$ (em sacos de batata), pago antes da realização do estado.

(a) Sem qualquer mercado, qual a disposição a pagar (DAP) de cada agricultor pela obra, se tiver que arcar sozinho com o custo? [1 pt]

Gabarito (a)

Utilidade esperada de A sem obra — $EU_A=\tfrac{1}{2}\ln5+\tfrac{1}{2}\ln10=\tfrac{1}{2}\ln50$.
Utilidade de A com obra (paga $P$) — A passa a colher 10 em ambos os estados mas paga $P$: $EU_A^{obra}=\ln(10-P)$.
DAP de A — Iguala as utilidades: \[\ln(10-P_A)=\tfrac{1}{2}\ln50\;\Rightarrow\;10-P_A=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\;\Rightarrow\;\boxed{P_A=10-5\sqrt{2}\approx2{,}93}.\]
DAP de B — B colhe 10 nos dois estados independentemente da enchente. A obra não altera o consumo de B: $EU_B^{obra}=\ln(10-P_B)$ vs $EU_B=\ln10$. Logo $P_B=0$. B não está disposto a pagar nada.

(b) Surge um intermediário financeiro que viabiliza mercados completos de ativos (equilíbrio Arrow-Debreu). Qual é o equilíbrio? [1 pt]

Gabarito (b)

Aplicar fórmula de demanda (log) — Com $u_i=\ln$, $\pi_1=\pi_2=1/2$: $x_{si}=\tfrac{1}{2}w_i/p_s$. Riquezas: $w_A=5p_1+10p_2$, $w_B=10p_1+10p_2$.
Market clearing (estado 1) — \[\frac{w_A+w_B}{2p_1}=15\;\Rightarrow\;15p_1+20p_2=30p_1\;\Rightarrow\;\frac{p_1}{p_2}=\frac{4}{3}.\]
Calcular alocações (com $p_2=1$, $p_1=4/3$) — \[w_A=5\cdot\tfrac{4}{3}+10=\tfrac{50}{3},\quad w_B=10\cdot\tfrac{4}{3}+10=\tfrac{70}{3}.\] \[x_{1A}=\frac{50/3}{2\cdot4/3}=\frac{25}{4},\quad x_{2A}=\frac{50/3}{2}=\frac{25}{3},\quad x_{1B}=\frac{35}{4},\quad x_{2B}=\frac{35}{3}.\]
Verificar e interpretar — Clearings: $\tfrac{25}{4}+\tfrac{35}{4}=15$ ✓; $\tfrac{25}{3}+\tfrac{35}{3}=20$ ✓. A razão $x_B/x_A=7/5$ em todo estado reflete $w_B/w_A=7/5$ (Regra de Borch com mesma curvatura). A recebe consumo variável: $6{,}25$ no estado 1 e $8{,}33$ no estado 2 — seguro parcial, não completo, pois B é também averso ao risco.

(c) Sob mercados completos, qual a DAP de cada agricultor pela obra? Compare com o item (a) e interprete o resultado. [1 pt]

Gabarito (c)

Utilidade de A no equilíbrio AD (sem obra) — \[EU_A^{AD}=\tfrac{1}{2}\ln\!\tfrac{25}{4}+\tfrac{1}{2}\ln\!\tfrac{25}{3}=\tfrac{1}{2}\ln\!\frac{625}{12}.\]
Utilidade de A com obra e mercados completos — Com a obra, as dotações tornam-se $\omega_A=(10,10)$, $\omega_B=(10,10)$. Endowments simétricos → sem motivo para troca → cada um consome a dotação menos o pagamento: $EU_A^{fp}=\ln(10-P_A)$.
DAP de A sob mercados completos — \[\ln(10-P_A^{AD})=\tfrac{1}{2}\ln\!\frac{625}{12}\;\Rightarrow\;10-P_A^{AD}=\sqrt{\frac{625}{12}}=\frac{25\sqrt{3}}{6}\;\Rightarrow\;\boxed{P_A^{AD}=10-\frac{25\sqrt{3}}{6}\approx2{,}78}.\] \(P_A^{AD}cai quando há mercados completos.
DAP de B sob mercados completos — \[EU_B^{AD}=\tfrac{1}{2}\ln\!\tfrac{35}{4}+\tfrac{1}{2}\ln\!\tfrac{35}{3}=\tfrac{1}{2}\ln\!\frac{1225}{12}\approx2{,}31 > \ln10\approx2{,}30.\] Logo $10-P_B^{AD}=\sqrt{1225/12}=35\sqrt{3}/6\approx10{,}10>10$, ou seja, $P_B^{AD}\approx-0{,}10<0$. B precisaria ser compensado para aceitar a obra.
Interpretação — Os mercados financeiros substituem parcialmente o bem público: A já obtém seguro parcial via negociação de ativos, então o valor marginal da obra cai. Para B, a obra é prejudicial: ela elimina o mercado de seguros em que B lucra (B seria a contraparte vendendo proteção). Este é um exemplo clássico de crowding-out de bens públicos por seguros privados.

Equilíbrio Geral com Dois Cobb-Douglas e Estática Comparativa (MWG 15.B.2)

Fórmula geral do preço relativo de equilíbrio, efeito de uma variação de dotação

[2 pts]

Dois consumidores têm preferências Cobb-Douglas com parâmetros potencialmente distintos:

$$u_1(x_{11},x_{21})=x_{11}^\alpha x_{21}^{1-\alpha},\qquad u_2(x_{12},x_{22})=x_{12}^\beta x_{22}^{1-\beta},\quad \alpha,\beta\in(0,1).$$

As dotações são $(\omega_{11},\omega_{21})\gg0$ e $(\omega_{12},\omega_{22})\gg0$.

(a) Encontre o preço relativo de equilíbrio $p_1/p_2$ e a alocação walrasiana. Para o caso especial $\alpha=\beta=1/2$, simplifique a fórmula e interprete. [1 pt]

Gabarito (a)

Demandas marshallianas — Para Cobb-Douglas com expoentes $(\alpha_\ell)$, $x_{\ell i}^*=\alpha_\ell\, w_i/p_\ell$. Definindo $r\equiv p_1/p_2$ e $w_i=p_1\omega_{1i}+p_2\omega_{2i}=p_2(r\omega_{1i}+\omega_{2i})$: \[x_{11}^*=\frac{\alpha(r\omega_{11}+\omega_{21})}{r},\quad x_{12}^*=\frac{\beta(r\omega_{12}+\omega_{22})}{r}.\]
Market clearing do bem 1 — $x_{11}^*+x_{12}^*=\bar\omega_1\equiv\omega_{11}+\omega_{12}$: \[\alpha(r\omega_{11}+\omega_{21})+\beta(r\omega_{12}+\omega_{22})=r\bar\omega_1.\]
Isolar $r$ — Coletando termos: \[r\bigl[\alpha\omega_{11}+\beta\omega_{12}-\bar\omega_1\bigr]=-(\alpha\omega_{21}+\beta\omega_{22})\] \[r\bigl[-(1-\alpha)\omega_{11}-(1-\beta)\omega_{12}\bigr]=-(\alpha\omega_{21}+\beta\omega_{22}).\] \[\boxed{r^*=\frac{p_1}{p_2}=\frac{\alpha\omega_{21}+\beta\omega_{22}}{(1-\alpha)\omega_{11}+(1-\beta)\omega_{12}}.}\]
Alocação de equilíbrio — Normalizando $p_2=1$, $p_1=r^*$: \[x_{11}^*=\frac{\alpha(r^*\omega_{11}+\omega_{21})}{r^*},\quad x_{21}^*=(1-\alpha)(r^*\omega_{11}+\omega_{21}),\] e análogo para o consumidor 2.
Caso especial $\alpha=\beta=1/2$ — \[r^*=\frac{\tfrac{1}{2}(\omega_{21}+\omega_{22})}{\tfrac{1}{2}(\omega_{11}+\omega_{12})}=\frac{\bar\omega_2}{\bar\omega_1}.\] O preço relativo iguala a razão das dotações agregadas. Com preferências simétricas, o mercado precifica os bens proporcionalmente à sua escassez relativa, independentemente de como as dotações se distribuem entre os dois agentes.

(b) Mostre que $\partial r^*/\partial\omega_{11}<0$ e interprete. Como a alocação de equilíbrio de cada agente se altera? [1 pt]

Gabarito (b)

Derivar $\partial r^*/\partial\omega_{11}$ — Escrevendo $r^*=N/D$ com $N=\alpha\omega_{21}+\beta\omega_{22}$ e $D=(1-\alpha)\omega_{11}+(1-\beta)\omega_{12}$: \[\frac{\partial r^*}{\partial\omega_{11}}=\frac{0\cdot D - N\cdot(1-\alpha)}{D^2}=\frac{-(1-\alpha)N}{D^2}<0.\] Um aumento na dotação de bem 1 do consumidor 1 reduz o preço relativo do bem 1.
Intuição do efeito-preço — Maior oferta do bem 1 → excesso de oferta transitório → o preço $p_1$ cai até restaurar o equilíbrio. Este é o efeito fundamental de dotação em equilíbrio geral: o preço de um bem cai quando a oferta aumenta.
Efeito sobre as demandas — Para o consumidor 1: com $q\equiv1/r^*$, $x_{11}^*=\alpha(\omega_{11}+q\omega_{21})$. Como $q=1/r^*$ sobe (pois $r^*$ cai), $x_{11}^*$ aumenta — tanto pelo efeito riqueza direto quanto pela queda no preço relativo. Para o consumidor 2: $x_{12}^*=\beta(\omega_{12}+q\omega_{22})$ também sobe via o aumento de $q$, pois a queda de $p_1$ barateia o bem 1 para todos.

Economia de Robinson Crusoé com Produção (MWG 15.C.2)

Equilíbrio com firma e consumidor, lucro, salário, lazer ótimo

[2,5 pts]

Considere uma economia com um único consumidor–proprietário e uma firma. O consumidor maximiza $u(x_1,x_2)=\ln x_1+\ln x_2$, onde $x_1$ é lazer e $x_2$ é o bem de consumo. Sua dotação de tempo é $\bar L=1$. A firma usa trabalho $z\geq0$ como único insumo, com tecnologia $f(z)=z^{1/2}$. O consumidor é dono da firma e recebe os lucros. Normalize o preço do bem produzido: $p=1$.

Encontre o equilíbrio walrasiano: salário $w^*$, lucros $\pi^*$, consumo $(x_1^*,x_2^*)$ e emprego $z^*$.

Gabarito

Problema da firma — Maximiza lucro $\pi=p\cdot f(z)-w\cdot z=z^{1/2}-wz$. \[\text{CPO}: \frac{1}{2}z^{-1/2}=w\;\Rightarrow\; z^*=\frac{1}{4w^2},\quad\pi^*=\frac{1}{4w}.\]
Problema do consumidor — Renda: $I=w\bar L+\pi=w+\frac{1}{4w}$. Restrição orçamentária: $w\cdot x_1+x_2=I$ (custo de lazer = salário-oportunidade).
Com Cobb-Douglas de expoentes iguais: \[x_1^*=\frac{I}{2w}=\frac{w+\frac{1}{4w}}{2w}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8w^2},\qquad x_2^*=\frac{I}{2}=\frac{w}{2}+\frac{1}{8w}.\]
Market clearing do trabalho — Trabalho ofertado $= \bar L - x_1^* =\frac{1}{2}-\frac{1}{8w^2}$ deve igualar a demanda da firma $z^*=\frac{1}{4w^2}$: \[\frac{1}{2}-\frac{1}{8w^2}=\frac{1}{4w^2}\;\Rightarrow\;\frac{1}{2}=\frac{3}{8w^2}\;\Rightarrow\;w^2=\frac{3}{4}\;\Rightarrow\;\boxed{w^*=\frac{\sqrt{3}}{2}.}\]
Computar o equilíbrio — \[z^*=\frac{1}{4\cdot\frac{3}{4}}=\frac{1}{3},\qquad\pi^*=\frac{1}{4\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt3}{6}.\] \[x_1^*=\frac{1}{2}+\frac{1}{8\cdot\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\quad(\text{lazer}),\qquad x_2^*=f(z^*)=\left(\frac{1}{3}\right)^{1/2}=\frac{\sqrt3}{3}\quad(\text{consumo}).\]
Verificação — Trabalho ofertado: $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}=z^*$ ✓. Renda: $w^*+\pi^*=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{6}=\frac{2\sqrt3}{3}$. Gasto: $w^*x_1^*+x_2^*=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2}{3}+\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{3}=\frac{2\sqrt3}{3}$ ✓.
Interpretação: O consumidor dedica $1/3$ do tempo ao trabalho e $2/3$ ao lazer. O salário real $w^*=\sqrt3/2\approx0{,}87$ iguala a produtividade marginal do trabalho em $z^*$. O lucro $\pi^*=\sqrt3/6$ reflete a renda gerada pela tecnologia decrescente de escala.

Arquipélago — Mercados Incompletos quando Rank(R) < S (A.5 itens e–f)

Detectar dependência linear em S=3, consequências para a alocação, comparação com mercados completos

[2 pts]

Em um arquipélago, cada ilha tem dois agentes $i\in\{A,B\}$, dois bens físicos (gado G e maçãs M), $S=3$ estados com $\pi_1=1/2$, $\pi_2=\pi_3=1/4$, e $u_i=\ln x_G+\ln x_M$. Na ilha I, os mercados são completos (Arrow-Debreu). Na ilha III, os mercados são sequenciais e há três ativos financeiros com retornos (escalares, em unidades de um bem-numerário):

$$r_1=(1,1,0),\quad r_2=(1,2,3),\quad r_3=(3,5,6).$$

(a) Mostre que o mercado de ativos da ilha III é incompleto, identificando a dependência linear entre os ativos. [0,75 pt]

Gabarito (a)

Construir R e testar rank — $R=\begin{pmatrix}1&1&3\\1&2&5\\0&3&6\end{pmatrix}$. Para $S=3$ estados, precisamos $\text{posto}(R)=3$.
Procurar dependência linear — Teste $r_3=\alpha r_1+\beta r_2$: \[\begin{cases}\alpha+\beta=3\\\alpha+2\beta=5\\3\beta=6\end{cases}\;\Rightarrow\;\beta=2,\;\alpha=1.\] Verificação: $1\cdot(1,1,0)+2\cdot(1,2,3)=(1,1,0)+(2,4,6)=(3,5,6)=r_3$ ✓.
Concluir — $r_3=r_1+2r_2$: o ativo 3 é redundante. As colunas de $R$ são linearmente dependentes, logo \(\text{posto}(R)=2incompleto.

(b) Que classe de transferências intertemporais a ilha III consegue implementar? Qual transferência simples é impossível? [0,75 pt]

Gabarito (b)

Caracterizar o espaço de transferências atingíveis — Com apenas $\{r_1,r_2\}$ gerando o espaço, um portfólio $(z_1,z_2)$ produz a transferência: \[t=z_1(1,1,0)+z_2(1,2,3)=(z_1+z_2,\;z_1+2z_2,\;3z_2).\] Parametrizando: $t_3=3z_2$ e $t_1=z_1+z_2=t_2-z_2=t_2-t_3/3$. Portanto a condição de atingibilidade é: \[3t_1-3t_2+t_3=0.\]
Exemplo de transferência impossível — A transferência $t=(1,-1,0)$ (mover riqueza do estado 2 para o estado 1, sem afetar o estado 3) viola a restrição: $3(1)-3(-1)+0=6\neq0$. Portanto é impossível com os ativos disponíveis.
Intuição — Os ativos da ilha III não permitem separar transferências entre os estados 1 e 2 sem afetar o estado 3. Qualquer ajuste entre estados 1 e 2 inevitavelmente altera o estado 3 de forma proporcional via $r_2$.

(c) A alocação de consumo da ilha III coincide com a de Arrow-Debreu (ilha I)? Justifique formalmente e compare com a ilha II (que possui três ativos de Arrow). [0,5 pt]

Gabarito (c)

Ilha II (ativos de Arrow) — Com $r_1^{II}=(1,0,0)$, $r_2^{II}=(0,1,0)$, $r_3^{II}=(0,0,1)$: $R^{II}=I_3$, $\text{posto}=3=S$. Mercado completo. Pelo Teorema da Equivalência, a alocação da ilha II coincide com a de Arrow-Debreu. ✓
Ilha III (mercado incompleto) — Com $\text{posto}(R^{III})=2<3=S$, o espaço de transferências atingíveis é um subespaço bidimensional de $\mathbb{R}^3$. Em geral, a alocação AD requer transferências em todas as três direções de $\mathbb{R}^3$. Se a transferência ótima de equilíbrio AD não satisfizer $3t_1-3t_2+t_3=0$, ela não é atingível na ilha III. A alocação da ilha III é, em geral, distinta da AD — os agentes não conseguem compartilhar completamente o risco agregado.
Conclusão — Mesmo com $K=S=3$ ativos, o mercado pode ser incompleto se os ativos forem linearmente dependentes. O número de ativos é condição necessária mas não suficiente para completude: o determinante é o posto da matriz $R$.

Material elaborado com base em MWG caps. 15, 16 e 19 e no estilo de avaliação do PPGCE/UERJ (Prova P1, 2025). Para as demonstrações das Listas 1 e 2 (Lei de Walras e Eficiência Fraca com Transversalidade), consulte as seções 5.1–5.3.

Microeconomia III – Parte 1

1.1 Setup e Caixa de Edgeworth

1.2 Maximização de Utilidade

Cobb-Douglas

Leontief: \(u = \min\{ax_1, bx_2\}\)

1.3 Equilíbrio Walrasiano

Lei de Walras

Análise de Equilíbrios de Canto

1.4 Ótimo de Pareto e Curva de Contrato

1.5 Teoremas Fundamentais do Bem-Estar

2.1 Bens Contingentes e Utilidade Esperada

2.2 Equilíbrio de Arrow-Debreu

Demanda com Utilidade Logarítmica

2.3 Compartilhamento de Risco

2.4 Equilíbrio de Radner (Mercados Sequenciais)

3.1 Ativos e Matriz de Payoffs

3.2 Mercados Completos

3.3 Precificação por Ausência de Arbitragem

3.4 Mercados Incompletos

4. Equação de Euler – Horizonte Infinito

Derivação

5.1 Prova Formal da Lei de Walras

5.2 Prova Detalhada do 1º Teorema do Bem-Estar

5.3 Eficiência Fraca e Condição de Transversalidade

Simulado – Questões no Estilo da Avaliação

Questões Extras – Das Listas de Exercícios

Caso	O que verificar	Conclusão típica
\(p_1,p_2>0\)	Solução interior	Caso genérico
\(p_1=0, p_2>0\)	Demanda de cada agente pelo bem 1	Geralmente viola factibilidade
\(p_1>0, p_2=0\)	Demanda pelo bem 2 →∞?	Geralmente viola factibilidade
\(p_1=p_2=0\)	Nenhum tem renda; verificar indiferença	Pode existir equilíbrio de canto

Bernoulli \(u_i(x)\)	Atitude ao risco	Intuição
\(\ln x\)	Averso (côncava)	Marginal decrescente
\(x\) (linear)	Neutro	Indiferente ao risco
\(x^2\)	Propenso (convexa)	Marginal crescente