Lista de Macroeconomia - A Ilha de Robinson

I

Robinson Sozinho

Economia de um agente: consumo, investimento e crescimento ótimo

Robinson sob um coqueiro, escrevendo seu diário — Robinson pondera: comer o coco agora, ou plantar e colher amanhã?

Robinson Crusoé acorda na ilha e faz um inventário: há $k_t$ cocos disponíveis. Eles podem ser plantados e se tornarem novos coqueiros, ou podem ser consumidos diretamente. Uma árvore de coco produz $F(k_t)$ frutos por período; parte do estoque se perde naturalmente a cada período, a uma taxa de depreciação $\delta$.

Não se engane: Robinson não está apenas com fome. Ele pensa, pondera, risca equações no chão de areia com um graveto. Em algum ponto de seu naufrágio, ele percebeu que não adianta comer tudo hoje se ele quer continuar vivo amanhã. Há uma taxa $\beta \in (0,1)$ que representa justamente isso: o quanto ele valoriza um coco no futuro em comparação com um hoje. Se $\beta$ for próximo de 1, Robinson é paciente; se for pequeno, ele come tudo agora e reza para ter sorte.

Teste rápido

Antes de começar: teste sua intuição

Se Robinson acorda com $\beta = 0{,}5$ (muito impaciente), o que você esperaria sobre $K^*$ em relação a um Robinson com $\beta = 0{,}95$?

A $K^*$ seria maior — Robinson impaciente trabalha mais

B $K^*$ seria menor — Robinson impaciente poupa menos

C $K^*$ seria igual — $\beta$ não afeta o estado estacionário

Certo! Um Robinson impaciente desconta mais o futuro, poupa menos e converge para um $K^*$ menor. Confirme isso no explorador interativo abaixo.

Não exatamente. Um Robinson impaciente prefere consumir agora: mais consumo hoje = menos poupança = menos capital acumulado no longo prazo.

Simulação

Dinâmica dos Cocos — múltiplos períodos

Robinson acorda no período $t=0$ com $K_0$ cocos. A cada período: os coqueiros produzem $F(K_t)=A\cdot K_t^{\alpha}$ novos cocos; Robinson consome uma fração $\lambda$ do total disponível e planta o resto. Observe como o estoque evolui ao longo do tempo.

$K_0$ (inicial) 5

$\alpha$ (tecnol.) 0.40

$A$ (produtiv.) 2.5

$\lambda$ (consumo) 40%

Período atual
Período   t = —
⬤ K_t      = —
⬤ Y_t=F(K_t) = —
⬤ C_t+K_t+1  = —
⬤ C_t      = —
⬤ K_t+1    = —

              Y_t = F(K_t) = A·K_tα

              C_t = λ·Y_t

              K_{t+1}=(1-λ)·Y_t

              (δ=1: capital vira prod.)
            

          ⬤ Estoque K_t
          ⬤ Produção F(K_t)
          ⬤ Consumo C_t
          ⬤ K_{t+1} acumulado
        

Velocidade:

Q. 1

O Problema de Robinson

O problema de Robinson pode ser escrito como:

\max_{\{C_{t+s},\, K_{t+s+1}\}} \sum_{s=0}^{\infty} \beta^s\, U(C_{t+s})

sujeito à restrição de recursos, para todo $s \geq 0$:

F(K_{t+s}) = C_{t+s} + \Delta K_{t+s+1} + \delta K_{t+s}

onde $K_t$ é dado e $\Delta K_{t+s+1} \equiv K_{t+s+1} - K_{t+s}$.

(a) Explique, com suas palavras, o que cada termo da restrição de recursos representa na história de Robinson. Como se interpreta $\delta K_{t+s}$?
(b) Escreva o Lagrangeano do problema, associando um multiplicador $\lambda_{t+s}$ a cada restrição do período $s$.
(c) Obtenha as Condições de Primeira Ordem (CPOs) em relação a $C_{t+s}$ e a $K_{t+s+1}$.

ⓘ A CPO em relação a $K_{t+s+1}$ envolve dois períodos consecutivos, pois $K_{t+s+1}$ aparece tanto na restrição do período $s$ quanto na do período $s+1$.

Q. 2

A Equação de Euler dos Cocos

Das CPOs obtidas na questão anterior, você tem duas equações envolvendo os multiplicadores $\lambda_t$ e $\lambda_{t+1}$.

(a) Isole $\lambda_t$ na CPO de $C_t$ e $\lambda_{t+1}$ na CPO de $C_{t+1}$. Em seguida, substitua ambos na CPO de $K_{t+1}$ para eliminar os multiplicadores e obtenha a Equação de Euler.
(b) A Equação de Euler pode ser escrita como: $U^{\prime}(C_t) = \beta\, U^{\prime}(C_{t+1})\,\bigl[1 - \delta + F^{\prime}(K_{t+1})\bigr]$ Interprete intuitivamente: o que significa o lado esquerdo e o que significa o lado direito? Por que no ótimo eles devem ser iguais?
(c) O que acontece com a Equação de Euler quando Robinson é impaciente, ou seja, quando $\beta \to 0$? E quando ele é completamente paciente ($\beta \to 1$)?

Interativo

Construindo a Equação de Euler — passo a passo

Cada clique revela um passo da derivação. Tente antecipar o próximo antes de revelar.

1
Lagrangeano
Um multiplicador $\lambda_{t+s}$ para cada período $s$
$\mathcal{L} = \sum_{s=0}^{\infty}\beta^s U(C_{t+s}) + \sum_{s=0}^{\infty}\lambda_{t+s}\bigl[F(K_{t+s}) - C_{t+s} - \Delta K_{t+s+1} - \delta K_{t+s}\bigr]$
2
CPO em $C_{t+s}$
Derivar e igualar a zero — note o fator $\beta^s$
$\beta^s U^{\prime}(C_{t+s}) = \lambda_{t+s}$
3
CPO em $K_{t+s+1}$
$K_{t+s+1}$ aparece nas restrições de dois períodos consecutivos
$\lambda_{t+s} = \lambda_{t+s+1}\bigl[1-\delta+F^{\prime}(K_{t+s+1})\bigr]$
4
Substituição dos multiplicadores
$\lambda_{t+s}=\beta^s U^{\prime}(C_{t+s})$ e $\lambda_{t+s+1}=\beta^{s+1}U^{\prime}(C_{t+s+1})$
$\beta^s U^{\prime}(C_{t+s}) = \beta^{s+1}U^{\prime}(C_{t+s+1})\cdot\bigl[1-\delta+F^{\prime}(K_{t+s+1})\bigr]$
5
Equação de Euler
Dividindo os dois lados por $\beta^s$
$\boxed{U^{\prime}(C_t) = \beta\,U^{\prime}(C_{t+1})\,\bigl[1-\delta+F^{\prime}(K_{t+1})\bigr]}$

Q. 3

O Estado Estacionário na Ilha

Imagine que, depois de semanas de tentativa e erro, Robinson encontrou seu ritmo. Os coqueiros crescem, o estoque sobe devagar, o consumo se estabiliza. Ele não quer mais nem muito nem pouco: quer uma vida boa e estável na ilha. Matematicamente, esse estado estacionário é o ponto em que as variáveis param de mudar: $C_t = C_{t+1} = C^*$ e $K_t = K_{t+1} = K^*$.

Para encontrar esse equilíbrio, assuma que a tecnologia de produção é $F(K_t) = A\,K_t^{\alpha}$ (árvores de coco com retornos decrescentes) e que a utilidade de Robinson é $U(C_t) = \ln(C_t)$ (ele gosta de consumir, mas com satisfação decrescente).

(a) Robinson chega ao seu "ritmo de cruzeiro": $C_t = C_{t+1} = C^*$ e $K_t = K_{t+1} = K^*$ (a ilha está em equilíbrio — nem crescendo nem encolhendo). Aplique essas condições à Equação de Euler e encontre $K^*$. Dica: a condição vira uma expressão algébrica limpa para a produtividade marginal do capital.
(b) Usando a restrição de recursos em estado estacionário ($\Delta K = 0$), determine $C^*$ em função de $K^*$.
(c) Como $K^*$ e $C^*$ se alteram se a produtividade $A$ aumentar? E se a taxa de desconto $\beta$ aumentar (Robinson se tornar mais paciente)?

Explorador

Estado Estacionário — explore os parâmetros

Mova os controles e veja $K^*$, $C^*$ e $Y^*$ mudando em tempo real. Tecnologia $F(K)=AK^\alpha$, utilidade $\ln(C)$, depreciação $\delta=0{,}10$.

$\beta$ (paciência) 0.95

$\alpha$ (capital) 0.33

$A$ (produtividade) 1.0

$K^*$

—

$Y^*$

—

$C^*$

—

$Y^*/K^*$

—

Investigação: o que acontece com $C^*$ quando $\beta\to 1$? E com $K^*$ quando $A$ dobra?

Q. 4

Diagrama de Fase: a Trajetória até o Equilíbrio

A Equação de Euler sozinha não descreve completamente a dinâmica da ilha: ela é não linear, o que dificulta sua análise direta. Vamos construir o diagrama de fase do sistema $(C_t, K_t)$.

(a) Para linearizar a Equação de Euler em torno do estado estacionário, expanda $U^{\prime}(C_{t+1})$ em série de Taylor de primeira ordem em torno de $C_t = C^*$. Escreva a forma linearizada da equação resultante.
(b) Usando a Equação de Euler linearizada e a restrição de recursos, escreva o sistema de equações em diferenças que descreve a dinâmica de $(C_t, K_t)$.
(c) Esboce o diagrama de fase. Identifique as curvas $\Delta C = 0$ e $\Delta K = 0$ e mostre que o equilíbrio é um ponto de sela. Qual é a interpretação econômica desse resultado?
(d) Suponha que Robinson descobre uma fonte de frescor que aumenta permanentemente a produtividade $A$. Use o diagrama de fase para descrever a trajetória de $C_t$ e $K_t$ ao longo do tempo até o novo estado estacionário.

ⓘ O caminho de sela é único. Isso reflete a condição de transversalidade do problema: Robinson não pode acumular infinitamente nem consumir seu estoque inteiro de uma vez.

II

Robinson e o Sr. Wilson

Lazer, trabalho e a alocação do tempo

O Sr. Wilson, a bola de vôlei na praia — O Sr. Wilson aparece na praia. Robinson ganha companhia e uma nova escolha: trabalhar ou conversar.

Certo dia, uma bola de vôlei aparece na praia, jogada pelo mar. Robinson, que há semanas não falava com ninguém, pega um toco de madeira queimada e desenha um rosto na bola. Nasce o Sr. Wilson.

Agora Robinson tem companhia — e um problema novo. O dia tem apenas 24 horas (normalizadas para 1, por conveniência matemática). Se ele passa tempo conversando com Wilson, esse tempo não está sendo usado para cuidar dos coqueiros. Formalmente: $N_t + L_t = 1$, onde $N_t$ é trabalho e $L_t$ é lazer. Sua função de utilidade agora reflete essa troca: $U(C_t, L_t) = \ln(C_t) + \ln(L_t)$. Robinson quer consumo e companhia — não apenas um deles.

Q. 5

O Novo Problema de Robinson

O problema passa a ser:

\max_{\{C_{t+s},\, K_{t+s+1},\, L_{t+s},\, N_{t+s}\}} \sum_{s=0}^{\infty} \beta^s \bigl[\ln(C_{t+s}) + \ln(L_{t+s})\bigr]

Sujeito a, para todo $s \geq 0$:

$F(K_{t+s}, N_{t+s}) = C_{t+s} + \Delta K_{t+s+1} + \delta K_{t+s}$
$N_{t+s} + L_{t+s} = 1$

(a) Escreva o Lagrangeano do problema. Quantos multiplicadores são necessários por período?
(b) Obtenha as CPOs em relação a $C_{t+s}$, $K_{t+s+1}$ e $N_{t+s}$ (ou $L_{t+s}$).
(c) A partir das CPOs, mostre que ao longo da trajetória ótima Robinson iguala a Taxa Marginal de Substituição entre consumo e lazer à produtividade marginal do trabalho: $\frac{U_L(C_t, L_t)}{U_C(C_t, L_t)} = F_N(K_t, N_t)$ Interprete essa condição na linguagem da ilha: o que Robinson está comparando?

Q. 6

O Longo Prazo com o Sr. Wilson

Considere a função de produção com elasticidade de substituição constante:

F(K, N) = \bigl[\alpha K^{1-1/\gamma} + (1-\alpha) N^{1-1/\gamma}\bigr]^{1/(1-1/\gamma)}

(a) No estado estacionário, Robinson não está mais "otimizando no tempo" — ele está em um ponto de repouso. Usando a Equação de Euler (com $C_t = C_{t+1} = C^*$), a condição TMS = $F_N$ e a restrição de recursos e de tempo, escreva as quatro equações que determinam $(K^*, C^*, L^*, N^*)$.
(b) A partir do sistema acima, isole e derive a condição de longo prazo para $F_K(K^*, N^*)$ (produtividade marginal do capital no estado estacionário). Essa condição depende de $\gamma$?
(c) Com a condição de $F_K$ em mãos, obtenha a relação produto-capital $Y^*/K^*$. Lembre-se que, para a função CES, $F_K = \alpha (Y/K)^{1/\gamma}$. A razão $Y^*/K^*$ depende de $\gamma$?
(d) O que acontece com $L^*$ (tempo livre com o Sr. Wilson) quando $\beta$ aumenta? Resolva formalmente e compare com a intuição: um Robinson mais paciente deveria trabalhar mais ou menos?
(e) Mostre que, ao longo da trajetória ótima e em cada período, Robinson iguala a Taxa Marginal de Substituição $MRS_{C,L} = C/L$ à produtividade marginal do trabalho $F_N$. Interprete: quanto custa, em termos de consumo perdido, mais uma hora com o Sr. Wilson?

ⓘ Dica geral: o longo prazo da economia com lazer tem a mesma estrutura de estados estacionários da Parte I, mas agora a divisão de tempo $N^* + L^* = 1$ impõe uma restrição extra que liga capital, consumo e lazer simultaneamente.

III

Sexta-Feira Chega à Ilha

Economia descentralizada: poupança, juros e consumo suave

Uma jangada se aproxima da ilha ao entardecer — Uma jangada aparece no horizonte. Sexta-Feira chega, e a ilha passa a ter dois agentes.

Meses se passaram. Um dia, Robinson avista uma silhueta no horizonte: uma jangada se aproxima. Sexta-Feira desembarca — e com ele chega algo que Robinson não esperava: uma economia.

Agora há dois agentes na ilha. Robinson e Sexta-Feira podem trocar, emprestar e poupar. Robinson acumula ativos $a_t$ e recebe juros $r_t$; Sexta-Feira trabalha e recebe salário $x_t$. Cada um resolve seu próprio problema individualmente, sujeito à sua restrição orçamentária — diferente da restrição de recursos que Robinson usava quando era o único habitante. O mercado agora coordena o que antes era um problema de um único planejador central.

Q. 7

O Problema do Consumidor

O indivíduo típico resolve:

\max_{\{c_{t+s},\, a_{t+s+1}\}} \sum_{s=0}^{\infty} \beta^s\, U(c_{t+s})

sujeito à restrição orçamentária, para todo $s \geq 0$:

\Delta a_{t+s+1} + c_{t+s} = x_{t+s} + a_{t+s}\,r_{t+s}

onde $c_t$ é o consumo, $a_t$ é a riqueza no início do período, $r_t$ é a taxa de juros e $x_t$ é a renda do trabalho. $a_t$ é dado.

(a) Escreva o Lagrangeano e obtenha as CPOs em relação a $c_{t+s}$ e $a_{t+s+1}$.
(b) Derive a Equação de Euler do consumidor descentralizado. Compare-a com a Equação de Euler da Parte I: quais as semelhanças e diferenças?
(c) Prove formalmente que, no estado estacionário, $c_{t+1} = c_t$ quando $r = \theta$, onde $\beta = 1/(1+\theta)$. O que essa condição implica sobre o comportamento de Sexta-Feira ao longo do tempo?

Q. 8

A Função Consumo

A partir da Equação de Euler e da restrição orçamentária, é possível obter a função consumo no período $t$.

(a) Itere a restrição orçamentária para frente e, usando a condição de transversalidade $\lim_{T\to\infty} \beta^T \lambda_{t+T} a_{t+T+1} = 0$, obtenha a restrição orçamentária intertemporal.
(b) Com $U(c) = \ln(c)$ e $r$ constante tal que $r = \theta$, derive a função consumo $c_t$.
(c) Compare o impacto sobre $c_t$ de um aumento transitório na renda $x_t$ (apenas no período $t$) e de um aumento permanente (para todo $s \geq 0$). Qual é a intuição econômica por trás da diferença?

ⓘ O resultado reflete a hipótese do rendimento permanente: Sexta-Feira suaviza o consumo ao longo do tempo. Um choque transitório tem impacto de $(1-\beta)$ sobre o consumo do período, enquanto um permanente tem impacto unitário.

Teste rápido

Renda transitória vs permanente

Sexta-Feira ganha um bônus de 100 cocos só este período (choque transitório). Quanto esse bônus aumenta o consumo neste período? (use $\beta=0{,}95$, $r=\theta$)

A 100 cocos — ele consome tudo agora

B 0 cocos — ele poupa tudo para o futuro

C 5 cocos — consome apenas $(1-\beta)\times 100$, poupa o restante

Exato! $\Delta c_t=(1-\beta)\Delta x_t$ para choques transitórios. Com $\beta=0{,}95$, apenas 5% do choque é consumido hoje. O restante é poupado e distribuído ao longo do tempo — a essência da hipótese do rendimento permanente.

Lembre-se: Sexta-Feira suaviza o consumo. Um choque transitório é "diluído" ao longo de toda a vida. A fração consumida hoje é $(1-\beta)$, e o restante é poupado.

IV

O Custo de Plantar Novos Coqueiros

Bônus: custo de ajustamento e o "q" de Tobin

Robinson percebe que plantar novos coqueiros não é gratuito: é preciso preparar o solo, regar as mudas e esperar. Existe um custo de instalação proporcional ao tamanho do investimento. Formalmente, a restrição de recursos passa a ser:

F(k_t) = c_t + \left(1 + \frac{\phi\, i_t}{2k_t}\right) i_t, \qquad i_t = \Delta k_{t+1} + \delta k_t

onde $\phi > 0$ é o parâmetro de custo de ajustamento. Com esse custo, surge uma variável nova: o valor de mercado de um coqueiro já instalado em relação ao seu custo de reposição, o chamado q de Tobin.

Q. 9

O "q" de Tobin na Ilha

(a) A partir das CPOs do problema de maximização, defina formalmente $q_t$ como razão de multiplicadores de Lagrange. O que esse quociente representa economicamente?
(b) No estado estacionário ($\Delta k = 0$, $\Delta q = 0$), obtenha o valor de $q^*$ e o valor da produtividade marginal do capital $F^{\prime}(k^*)$. Como eles se relacionam?
(c) As equações linearizadas em torno do estado estacionário são: $(1-\beta)(q_t - q^*) - \beta F_{kk}(k_t - k^*) = \beta\,\Delta q_{t+1} + \beta F_{kk}\,\Delta k_{t+1}$ $k_t(q_t - q^*) = \phi\,\Delta k_{t+1}$ Use essas equações para construir o diagrama de fase no plano $(q_t, k_t)$, identifique as isóclinas $\Delta q = 0$ e $\Delta k = 0$, e mostre que o equilíbrio é um ponto de sela.
(d) Use o diagrama de fase para descrever a trajetória de $q_t$ e $k_t$ após um choque permanente de tecnologia (aumento em $A$). Por que $q_t$ salta imediatamente enquanto $k_t$ se ajusta de forma gradual?

ⓘ O q de Tobin é a razão entre o valor de mercado de um coqueiro instalado e seu custo de reposição. Quando $q > 1$, vale a pena plantar mais; quando $q < 1$, o investimento não se paga. No estado estacionário sem custo de ajustamento ($\phi = 0$), temos $q^* = 1$.