Ruído Multiplicativo: da Equação de Langevin ao Funcional Gerador

I

A equação de Langevin e o ruído

Do grão de pólen de Robert Brown à distinção entre ruído aditivo e multiplicativo

Em 1827, o botânico Robert Brown observou ao microscópio grãos de pólen suspensos em água e notou que eles dançavam sem parar, em zigue-zague, como empurrados por mãos invisíveis. Hoje sabemos quem empurra: as moléculas do líquido, em agitação térmica, bombardeiam o grão bilhões de vezes por segundo, de todos os lados e com intensidades ligeiramente desiguais a cada instante.

Em 1908, Paul Langevin propôs uma maneira engenhosa de escrever a física desse movimento sem precisar acompanhar cada molécula: separar a força que o meio exerce sobre o grão em duas parcelas. Uma é determinística — o arrasto viscoso, que sempre se opõe ao movimento. A outra é aleatória — uma força que chuta para todo lado, com média zero, herdada dos choques moleculares. Nasce aí a equação de Langevin, a espinha dorsal desta apostila.

§ I.1

A anatomia da equação

Para uma variável $x(t)$ (pense na posição do grão), a equação de Langevin mais geral que nos interessa é

\frac{dx(t)}{dt} = f\big(x(t)\big) + g\big(x(t)\big)\,\eta(t)

onde $\eta(t)$ é um ruído branco gaussiano, inteiramente caracterizado por

\langle \eta(t) \rangle = 0, \qquad \langle \eta(t)\,\eta(t') \rangle = \delta(t - t')

Os dois símbolos novos merecem nome e sobrenome:

$f$ A deriva (drift): a parte previsível da dinâmica. Se $f(x) = -x$, por exemplo, o sistema é sempre puxado de volta para a origem, como uma bolinha numa tigela (um poço harmônico).
$g$ A raiz quadrada da função de difusão: a intensidade dos chutes aleatórios. O nome “ruído branco” vem da segunda correlação acima: $\delta(t-t')$ significa que o chute de agora não guarda nenhuma memória do chute de um instante atrás — todas as frequências contribuem igualmente, como na luz branca.

Note já um detalhe que será crucial: a correlação $\langle \eta(t)\eta(t)\rangle = \delta(0)$ é infinita. O ruído branco é um objeto idealizado — útil, mas matematicamente feroz. Guarde isso para a Parte II.

§ I.2

Aditivo ou multiplicativo: onde mora o ruído?

Se $g$ é uma constante, o chute aleatório tem sempre a mesma intensidade, não importa onde o sistema esteja: dizemos que o ruído é aditivo, pois ele simplesmente se soma à dinâmica. Mas se $g$ depende do estado $x$, o ruído muda de intensidade conforme o sistema se move — é o ruído multiplicativo, porque o estado multiplica o ruído. E, como veremos, essa pequena mudança vira a matemática de cabeça para baixo.

Ruído multiplicativo não é exotismo: o artigo de Arenas e Barci lista exemplos bem concretos.

(a) Difusão dependente do estado. Uma partícula em suspensão que se move perto de uma parede: o coeficiente de difusão depende da distância à parede (a parede atrapalha o escoamento do fluido em volta da partícula), logo $g = g(x)$.
(b) Nanopartículas magnéticas. A equação estocástica de Landau–Lifshitz–Gilbert, que descreve momentos magnéticos de nanopartículas em agitação térmica, é uma equação de Langevin com ruído multiplicativo.
(c) Química e econometria. Em certos modelos, o que chamamos de “ruído branco” é na verdade o limite de processos com saltos discretos (tipo Poisson) — reações que ocorrem em eventos contados, negócios que chegam um a um num mercado. Nesses casos, a interpretação de Itô (que veremos já já) é a mais adequada.

II

O paradoxo: o produto mal-definido

Por que multiplicar o estado pelo ruído branco é uma operação ambígua — e a prescrição-α

Aqui chegamos ao coração do problema. Na equação de Langevin aparece o produto $g\big(x(t)\big)\,\eta(t)$: o estado vezes o ruído. Com ruído aditivo ($g$ constante), não há mistério. Mas com ruído multiplicativo, esse produto simplesmente não está bem definido — e a culpa é da delta de Dirac.

Como $\langle\eta(t)^2\rangle = \delta(0) = \infty$, o ruído branco tem variância infinita em cada instante: ele oscila violentamente em escalas de tempo arbitrariamente pequenas. Multiplicar uma função suave por um monstro desses exige cuidado — e o resultado depende de como fazemos a multiplicação.

§ II.1

A integral que depende de um detalhe

Para dar sentido à equação, é preciso integrá-la no tempo. Escrevendo $dW(t) = \eta(t)\,dt$ (o chamado processo de Wiener), a integral do termo de ruído é calculada como uma soma sobre pequenos intervalos $[t_j, t_{j+1}]$. E aí aparece a ambiguidade: em que ponto do intervalo avaliamos $g$? Como $x(t)$ se mexe violentamente dentro de cada intervalo (carregado pelos chutes do ruído), a escolha muda o valor da soma — e a diferença não desaparece quando o intervalo encolhe.

A saída é declarar a escolha explicitamente, com a prescrição-α generalizada (às vezes chamada de Stratonovich generalizado): avalia-se $g$ no ponto intermediário

(1-\alpha)\,x(t_j) + \alpha\,x(t_{j+1}), \qquad 0 \le \alpha \le 1,

de modo que a integral estocástica vira

\int g\big(x(t)\big)\,dW(t) \;\simeq\; \sum_j g\Big((1-\alpha)\,x(t_j) + \alpha\,x(t_{j+1})\Big)\, \Big[W(t_{j+1}) - W(t_j)\Big]

Cada valor de $\alpha$ define um cálculo estocástico diferente — e, potencialmente, um processo físico diferente.

§ II.2

Três sabores famosos

$\alpha{=}0$ Itô (pré-ponto): avalia-se $g$ no início do intervalo. A regra é causal — o chute futuro não conversa com o estado de agora — e por isso é a favorita em finanças e nos processos com saltos discretos da química e da econometria.
$\alpha{=}\tfrac12$ Stratonovich (ponto médio): equivale a substituir o ruído branco por um ruído levemente colorido (com uma memória curtíssima, como o ruído físico de verdade) e depois tomar o limite em que a memória some. É a escolha natural na maior parte da física, e vale a regra da cadeia do cálculo ordinário.
$\alpha{=}1$ Hänggi–Klimontovich (pós-ponto): avalia-se $g$ no fim do intervalo. Aparece naturalmente em certos problemas de cinética.

Qual é a “certa”? Nenhuma, em abstrato — e essa é a mensagem importante. A escolha de $\alpha$ não é uma convenção arbitrária: ela é ditada pela física microscópica do problema (a origem do ruído, os tempos de correlação do banho térmico, a natureza dos saltos). Pergunta para a natureza, não para o matemático.

ⓘ Por que Stratonovich é “natural” em física? Ruídos físicos reais nunca são exatamente brancos: eles têm um tempo de correlação $\tau$ pequeno mas finito. Um teorema clássico (Wong–Zakai) diz que, ao tomar o limite $\tau \to 0$ de uma equação com ruído colorido, obtém-se a equação de Langevin interpretada à la Stratonovich. É por isso que experimentalistas costumam encontrar $\alpha = 1/2$ quando derivam o modelo com cuidado.

Teste rápido

Antes de seguir: teste sua intuição

Por que o produto $g\big(x(t)\big)\,\eta(t)$ é ambíguo quando $g$ depende de $x$?

A Porque $\eta(t)$ tem média zero, e produtos com média zero não podem ser integrados

B Porque $\eta$ é delta-correlacionado (variância infinita em cada instante), de modo que a integral $\int g\,dW$ depende do ponto do intervalo em que $g$ é avaliada

C Porque $g(x)$ pode ser negativa, o que tornaria a variância negativa

Exato! A delta de Dirac dá variância infinita ao ruído branco; a soma que define a integral estocástica converge para valores diferentes conforme o ponto de avaliação de $g$ — e cada escolha é uma prescrição-α diferente.

Não é bem isso. Média zero não impede integração, e $g^2 \ge 0$ sempre. O problema é a variância infinita do ruído branco: dentro de cada intervalinho de tempo, $x(t)$ se move o suficiente para que o ponto de avaliação de $g$ faça diferença finita.

Laboratório

Veja com seus próprios olhos: α muda o processo

Simulamos a equação de Langevin com $f(x) = -x$ (o poço harmônico) e ruído multiplicativo $g(x) = g_0\sqrt{|x| + \varepsilon}$ (com $\varepsilon = 0{,}05$ para estabilidade numérica). Integração por Euler–Maruyama com passo $\Delta t = 0{,}01$: a prescrição-α equivale a um esquema de Itô com a deriva corrigida $f_{\mathrm{eff}} = f + \alpha\, g\, g'$, ou seja,

x \;\leftarrow\; x + \Big[f(x) + \alpha\, g(x)\,g'(x)\Big]\,\Delta t + g(x)\,\sqrt{\Delta t}\;N(0,1)

O painel de cima mostra três trajetórias individuais; o de baixo, o histograma de um enxame de centenas de partículas (a distribuição quase-estacionária), comparado à solução teórica $P(x) \propto g(x)^{-2}\exp\!\big[2\int_0^x f_{\mathrm{eff}}(y)/g(y)^2\,dy\big]$ em azul. Varra o slider de $\alpha$: com ruído multiplicativo, a distribuição muda de forma. Depois mude para o modo aditivo e repita: $\alpha$ deixa de fazer qualquer diferença — exatamente o que a teoria da Parte V explica.

$\alpha$ (prescrição) 0.50

$g_0$ (intensidade) 0.90

Atalhos de $\alpha$:

Tipo de ruído:

          ━ trajetórias $x(t)$
          █ histograma do enxame
          ━ distribuição estacionária teórica
        

III

O funcional gerador

Trocar "resolver para cada ruído" por uma única integral sobre todos os caminhos

O que queremos, no fim das contas, não é saber a trajetória exata de um grão de pólen (impossível), mas quantidades estatísticas: as correlações $\langle x(t_1)\,x(t_2)\cdots x(t_n)\rangle$, que dizem como o sistema flutua e como responde a perturbações. Resolver a equação de Langevin para cada realização do ruído e depois tirar médias é trabalho de formiga. O artigo de Arenas e Barci mostra como fazer tudo de uma vez, com um único objeto: o funcional gerador — a mesma ideia que a teoria quântica de campos usa para calcular qualquer coisa.

§ III.1

A máquina de fazer correlações

Para cada realização $\eta(t)$ do ruído, a equação de Langevin tem solução $\bar{x}_{[\eta]}(t)$. Define-se então

Z[J] = \left\langle \exp\!\left( \int dt\, J(t)\,\bar{x}_{[\eta]}(t) \right) \right\rangle_{\!\eta}

onde $J(t)$ é uma função auxiliar (uma “fonte”), e $\langle\cdots\rangle_\eta$ é a média sobre todas as realizações do ruído. O truque: cada derivada funcional em relação a $J$ “puxa para baixo” um fator $\bar{x}$ do expoente. Logo,

\langle x(t_1)\cdots x(t_n) \rangle = \left. \frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(t_1)\,\cdots\,\delta J(t_n)} \right|_{J = 0}

Todas as correlações do processo vivem dentro de $Z[J]$, como as passagens de um baú. E há uma propriedade de higiene essencial: $Z[0] = \langle 1 \rangle_\eta = 1$ — a conservação de probabilidade. Qualquer formalismo que viole isso está errado.

§ III.2

Os quatro truques da construção

Transformar a média sobre o ruído em algo calculável usa quatro ideias em sequência. Cada uma é um truque clássico da física teórica — e cada uma tem um papel preciso.

1. Delta funcional. Em vez de resolver a equação, inserimos a solução “à força”, integrando sobre todos os caminhos $x(t)$ e deixando que uma delta funcional selecione os que obedecem à dinâmica: $$Z[J] = \int \mathcal{D}x\; e^{\int dt\, J x}\, \big\langle \delta\big[x - \bar{x}_{[\eta]}\big] \big\rangle_{\!\eta}$$ É como trocar “encontre o caminho certo” por “considere todos os caminhos e penalize os errados com peso zero”.
2. Troca de variáveis. Escrevemos a delta em termos do operador da equação de Langevin, $\hat{O}(x) = \dot{x} - f(x) - g(x)\eta(t)$, que vale zero sobre as soluções: $$\delta\big[x - \bar{x}\big] = \delta\big[\hat{O}(x)\big]\, \det\!\left( \frac{\delta \hat{O}}{\delta x} \right)$$ O determinante é o Jacobiano da troca de variáveis — o “imposto” que a mudança de coordenadas cobra. Ponto crucial: com ruído multiplicativo, esse determinante depende do ruído $\eta$ (porque $g' \neq 0$). No caso aditivo, $g' = 0$ e o Jacobiano nem percebe o ruído — toda a complicação vem daí.
3. Fourier. A delta funcional vira uma integral exponencial sobre um campo auxiliar $\varphi(t)$, o campo de resposta: $$\delta\big[\hat{O}\big] = \int \mathcal{D}\varphi\; \exp\!\left( i \int dt\, \varphi\,\hat{O} \right)$$ (é a versão contínua de $\delta(x) = \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx}$). Como o argumento é linear em $\eta$, a média gaussiana sobre o ruído agora pode ser feita analiticamente.
4. Grassmann. O determinante (Jacobiano) vira uma integral sobre variáveis de Grassmann $\xi(t)$ e $\bar{\xi}(t)$ — “férmions fictícios” que anticomutam, com $\xi^2 = \bar{\xi}^2 = 0$ (a chamada integral de Berezin): $$\det M = \int \mathcal{D}\bar{\xi}\,\mathcal{D}\xi\; \exp\!\left( -\int dt\, \bar{\xi}\, M\, \xi \right)$$ Parece exótico, mas é apenas contabilidade: esses “fantasmas” existem para colocar o determinante no expoente, onde ele pode participar da ação.

§ III.3

A ação — e o nascimento da deriva espúria

Depois de tomar a média sobre o ruído, o funcional gerador fica $Z[J] = \int \mathcal{D}x\,\mathcal{D}\varphi\,\mathcal{D}\bar{\xi}\,\mathcal{D}\xi\; e^{-S + \int Jx}$, com a ação

S = \int dt\left\{ -\bar{\xi}\,\dot{\xi} + f'(x)\,\bar{\xi}\xi + \tfrac{1}{2}\varphi^2 g(x)^2 + i\varphi\Big[ \dot{x} - f(x) + g(x)\,g'(x)\,\bar{\xi}\xi \Big] \right\}

Leia os termos em voz alta: $\tfrac12 \varphi^2 g^2$ é a assinatura do ruído gaussiano; $i\varphi (\dot{x} - f)$ impõe a equação de Langevin; os termos com $\bar{\xi}\xi$ carregam o Jacobiano. E repare no termo proporcional a $g\,g'$: ele só existe no caso multiplicativo (quando $g$ é constante, $g' = 0$ e ele some). Esse termo é a origem da famosa deriva espúria (spurious drift) — a correção efetiva na deriva que distingue as prescrições de Itô, Stratonovich e Hänggi–Klimontovich.

Um detalhe bonito: poderíamos temer termos com $(g')^2$, mas eles não aparecem no caso de uma única variável — e a razão é puramente algébrica.

ⓘ Por que $\xi^2 = 0$ elimina os termos em $(g')^2$? Variáveis de Grassmann anticomutam: $\xi\xi = -\xi\xi$, logo $\xi^2 = 0$. Qualquer termo da expansão que trouxesse dois campos fantasmas no mesmo ponto do tempo (como $(\bar{\xi}\xi)^2$) se anula identicamente. Os termos com $(g')^2$ viriam acompanhados exatamente dessas potências — e morrem de morte algébrica antes de nascer. Em sistemas com várias variáveis a história é mais rica, mas para um único grau de liberdade é isso que mantém a ação simples.

IV

Onde o α se esconde

Um formalismo em tempo contínuo que, mesmo assim, guarda toda a ambiguidade em θ(0)

A construção da Parte III foi feita por métodos funcionais, trabalhando diretamente com caminhos contínuos $x(t)$ — em nenhum momento discretizamos o tempo em intervalinhos. Seria de esperar, então, que a ambiguidade da prescrição-α tivesse evaporado. Não evaporou: ela reaparece sorrateiramente, num lugar inesperado e muito instrutivo.

§ IV.1

A função de Heaviside e o número mágico

Para integrar as variáveis de Grassmann é preciso inverter o operador diferencial $d/dt$ — ou seja, definir a sua função de Green retardada, que nada mais é que a função de Heaviside $\theta(t - t')$ (vale $0$ antes e $1$ depois). E aí a matemática pergunta: quanto vale $\theta(0)$? Exatamente no salto, a função é ambígua. O artigo mostra que basta declarar

\theta(0) = \alpha

e toda a informação sobre a prescrição — Itô, Stratonovich, Hänggi–Klimontovich, ou qualquer valor intermediário — fica codificada nesse único número. Integrando os grassmannianos com essa escolha, a ação efetiva fica

S = \int dt\left\{ \tfrac{1}{2}\varphi^2 g^2 + i\varphi\Big[ \dot{x} - f + \alpha\, g\, g' \Big] + \alpha f' \right\}

Reconheça a deriva espúria: ela aparece agora como $\alpha\, g\, g'$, exatamente a correção que a discretização temporal com prescrição-α produz. O formalismo contínuo reproduz os resultados obtidos antes por discretização — e com isso resolve a velha controvérsia entre as abordagens de tempo discreto e de tempo contínuo: as duas falam a mesma língua, desde que se declare $\theta(0)$.

ⓘ O que é uma função de Green retardada, afinal? É a “resposta ao impulso” de um operador. Para $d/dt$, perguntamos: qual função $G(t-t')$ satisfaz $\frac{d}{dt}G(t-t') = \delta(t-t')$? A resposta é $G = \theta(t-t')$ (a causalidade escolhe a versão retardada: o sistema só responde depois do empurrão). Intuitivamente, $G(t-t')$ diz quanto o estado em $t$ “lembra” de um chute dado em $t'$. A ambiguidade em $t = t'$ — o valor $\theta(0)$ — é o fantasma contínuo da pergunta discreta “em que ponto do intervalo avalio $g$?”.

§ IV.2

A vantagem prática

O ganho dessa reformulação não é só estético. Pode-se trabalhar com uma única estrutura matemática — uma ação, um conjunto de regras de Feynman, uma maquinaria de teoria de campos — e fixar $\alpha$ só no final, quando a física microscópica do problema já tiver sido decidida. Em vez de refazer a conta inteira para cada prescrição, varre-se o parâmetro $\alpha$ como quem gira um botão — exatamente o que você fez no laboratório da Parte II.

V

Simetrias: BRS e supersimetria

Por que, no caso aditivo, a Natureza não se importa com α — e no multiplicativo, se importa

Toda grande teoria de campos tem suas simetrias, e esta não é exceção. Elas não são enfeites: são o que garante que a teoria faz sentido — e são a chave para a pergunta que nos persegue desde a Parte II: afinal, quando é que a escolha de $\alpha$ realmente importa?

§ V.1

Simetria BRS: a conservação de probabilidade disfarçada

A ação possui uma simetria de BRS (Becchi–Rouet–Stora), a mesma que organiza as teorias de gauge: uma transformação nilpotente ($\delta^2 = 0$, aplicá-la duas vezes dá zero) que troca as variáveis comuns (bôsonicas) pelas variáveis fantasmas (fermiônicas) de Grassmann. Fisicamente, ela é a manifestação da conservação de probabilidade $Z[0] = 1$.

E ela tem uma consequência palpável, uma identidade de Ward que conecta o mundo fantasma ao mundo físico:

\big\langle x(t_1)\,\varphi(t_2) \big\rangle = \big\langle \bar{\xi}(t_1)\,\xi(t_2) \big\rangle

Leia devagar: a esquerda é a função de resposta — como o sistema reage a uma perturbação externa (o campo $\varphi$ casou justamente com $\hat{O}$, a equação de movimento). A direita é uma correlação entre fantasmas, objetos que inventamos por contabilidade. A simetria decreta que são a mesma coisa. Os fantasmas pagam seu aluguel.

§ V.2

Superespaço: colocando as simetrias à vista

Há uma reformulação elegante em que essas simetrias ficam manifestas: estende-se o tempo a um superespaço $(t, \theta, \bar{\theta})$, com duas coordenadas anticomutativas extras, e empacota-se tudo ($x$, $\varphi$, $\xi$, $\bar{\xi}$) num único supercampo $\Phi(t, \theta, \bar{\theta})$. As transformações de simetria viram simples “translações” nas coordenadas de Grassmann — geometria, em vez de álgebra.

§ V.3

Supersimetria: o ponto em que α deixa de importar

Agora o resultado mais bonito. Considere o caso aditivo ($g$ constante) com a deriva derivando de um potencial, $f = \partial V/\partial x$ — como a bolinha na tigela, $f = -x$ com $V = -x^2/2$. Nesse caso a ação ganha uma simetria ainda maior: a supersimetria (SUSY), que mistura de forma balanceada os graus de liberdade bôsonicos e fermiônicos.

E a SUSY faz um milagre contábil: os diagramas de “tadpole” — laços que saem e voltam do mesmo vértice, e que são justamente onde mora a dependência em $\alpha$ (lembre-se: $\theta(0)$ aparece em laços avaliados a tempos iguais) — cancelam identicamente, a todas as ordens da teoria de perturbação. Bósons e férmions se anulam em pares. Consequência direta:

(a) As correlações não dependem de $\alpha$: o processo estocástico é único, não importa a prescrição. Era o que você viu no laboratório ao ligar o modo aditivo.
(b) Fisicamente, a SUSY implica invariância por translação temporal das correlações e o teorema de flutuação-dissipação: a resposta do sistema a uma perturbação é determinada pelas suas flutuações espontâneas.
(c) E garante a convergência ao equilíbrio termodinâmico em tempos longos — a assinatura de um sistema bem-comportado em contato com um banho térmico.

No caso multiplicativo genérico, essa simetria extra não existe: os tadpoles com acoplamentos derivativos (os termos $g\,g'$) não cancelam, e cada valor de $\alpha$ define de fato um processo estocástico diferente. Por isso a física microscópica precisa decidir a prescrição — a matemática, sozinha, não decide por você.

Teste rápido

O que a supersimetria compra de graça?

No caso aditivo com deriva derivando de um potencial ($f = \partial V/\partial x$), o que a supersimetria da ação garante?

A Que apenas a prescrição $\alpha = 1$ descreve o equilíbrio termodinâmico

B Que o ruído deixa de ser gaussiano em tempos longos

C Que os tadpoles (onde mora a dependência em $\alpha$) cancelam a todas as ordens, logo as correlações não dependem de $\alpha$ e o sistema relaxa ao equilíbrio

Isso! A SUSY faz bósons e férmions cancelarem os diagramas de tadpole — que são justamente os sensíveis a $\theta(0) = \alpha$. Sem dependência em $\alpha$, o processo é único; e a mesma simetria implica flutuação-dissipação e o equilíbrio em tempos longos.

Cuidado: no caso aditivo com potencial, nenhuma prescrição é privilegiada — a SUSY cancela a dependência em $\alpha$ a todas as ordens, e todas descrevem o mesmo processo. É no caso multiplicativo genérico que cada $\alpha$ define um processo distinto.

§ V.4

O que o artigo entrega

A conclusão de Arenas e Barci é uma síntese. O formalismo do funcional gerador unifica as prescrições (Itô, Stratonovich, Hänggi–Klimontovich são apenas valores de $\theta(0)$ numa única ação); esclarece a controvérsia entre as abordagens de tempo discreto e contínuo, mostrando que elas concordam quando a ambiguidade é tratada com honestidade; e, uma vez escrita a dinâmica como teoria de campos, toda a maquinaria dessa área — diagramas de Feynman, identidades de Ward e inclusive o grupo de renormalização dinâmico — fica disponível para estudar correlações e o comportamento assintótico de processos estocásticos multiplicativos.

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Para saber mais

O artigo e as referências clássicas por trás dele

▸ Z. González Arenas & D. G. Barci, “A generating functional for multiplicative stochastic processes”, arXiv:0912.0301 — o artigo desta apostila, com todas as contas que aqui só contamos por alto.
▸ N. G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry — a referência clássica sobre ruído, equações de Langevin e a discussão Itô × Stratonovich.
▸ J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena — a maquinaria de teoria de campos (funcionais geradores, Grassmann, BRS, renormalização) usada na Parte III em diante.